комплексные-числа - Квадратные корни квадратной матрицы

1) Рассмотрим сначала действительные матрицы. Предположим, что из матрицы $%A$% извлекается корень, т.е. существует матрица $%B$% такая, что $%B \cdot B=A$%. Предположим также, что матрица $%B$% может быть приведена к диагональному виду, т.е. существует матрица $%S$% такая что $%S^{-1}BS=B'$%, где $%B'$%- диагональная матрица. Из равенств $%B'B'=S^{-1}BSS^{-1}BS=S^{-1}BBS=S^{-1}AS$% следует, что $%A'=S^{-1}AS$% - тоже диагональная матрица, т.е. матрицы $%A$% и $%B$% приводятся к диагональному виду одним и тем же преобразованием. Т.к. элементы штрихованных матриц - это собственные значения нештрихованных, то из приведенных рассуждений вытекают следующие выводы.
1.1)Если матрица $%A$% является симметричной положительно определенной матрицей, то из нее извлекается корень в виде действительной матрицы.
1.2) Алгоритм вычисления корня из такой матрицы следующий: решить задачу на собственные значения, извлечь из собственных значений корни, составить из них диагональную матрицу, применить к ней преобразование, обратное к преобразованию, переводящему матрицу $%A$% к диагональному виду.
1.3) Количество различных матриц $%B$% равно $%2^n$%, т.к. для каждого собственного значения есть 2 значения корня - положительное и отрицательное.

2) Для комплексной матрицы рассуждения останутся в силе, если заменить симметричность на унитарность. Требование положительной определенности при этом, естественно, снимется.

3) Решение для общего случая. Предположим, что преобразование $%S$% приводит матрицу $%B$% не к диагональному, а к верхнему треугольному виду, т.е. матрица $%B'$% является верхней треугольной. Такое преобразование существует для любой квадратной матрицы. Легко убедиться, что матрица $%A'$% при этом тоже получится верхней треугольной, причем, диагональные элементы матрицы $%A'$% будут квадратами соответствующих диагональных элементов матрицы $%B'$%. Это позволяет найти все диагональные элементы матрицы $%B'$% извлечением корня из диагональных элементов матрицы $%A'$%, а затем по цепочке найти и все остальные элементы матрицы $%B'$%. Отсюда получаются следующие выводы.
3.1) Из любой комплексной матрицы извлекается корень, в общем случае таких корней $%2^n$%, но среди них могут быть совпадающие (кратные).
3.2) Алгоритм вычисления корней следующий: преобразовать матрицу $%A$% к верхнему треугольному виду, найти матрицу $%B'$% по сформулированному алгоритму и сделать обратное преобразование.
3.3) Необходимым и достаточным условием вещественности корней из вещественной матрицы является не отрицательность диагональных элементов после преобразования матрицы к треугольному виду. Не отрицательность детерминанта является условием необходимым, но недостаточным.

Дополнение 1 (ответ на комментарий). Вы имели в виду "к треугольному виду". Вообще, в пп. 1, 2 все абсолютно четко, а над п.3 нужно, видимо, еще подумать. Дело в том, что метод Гаусса может не сводиться к преобразованию $%S^{-1}AS$%, а на этом основано доказательство. Т.е. доказательство применимо только к тем матрицам, которые приводятся к треугольному виду преобразованием $%S^{-1}AS$%.

Дополнение 2. Похоже, в п.3 в целом все правильно, только нужно использовать преобразование матрицы $%A$% к Жордановой форме - для этого преобразования всегда есть матрица, получающаяся из решения задачи на собственные значения. Проблема в том, что квадрат Жордановой матрицы не является Жордановой матрицей (хотя является треугольной и даже двухдиагональной). Строгое обоснование алгоритма требует доказательства следующей теоремы: "Если $%A'=B'^2$% и $%A'$%- Жорданова матрица, то $%B'$%- треугольная матрица". Утверждение кажется верным, но как доказать - пока не знаю.