5
1

Назовем квадратную матрицу $%B$% корнем квадратным из квадратной матрицы $%A$%, если $%B \times B=A$%. Элементы матриц - комплексные числа.

  • Для каждой ли квадратной матрицы $%A$% существуют квадратные корни?
  • Каково их количество?
  • Как можно их вычислить?
  • Верно ли, что если квадратная матрица $%A$% состоит из вещественных чисел и $%\det(A)\geq0$%, то все квадратные корни матрицы $%A$% тоже состоят исключительно из вещественных чисел?

задан 5 Окт '12 13:39

10|600 символов нужно символов осталось
5

1) Рассмотрим сначала действительные матрицы. Предположим, что из матрицы $%A$% извлекается корень, т.е. существует матрица $%B$% такая, что $%B \cdot B=A$%. Предположим также, что матрица $%B$% может быть приведена к диагональному виду, т.е. существует матрица $%S$% такая что $%S^{-1}BS=B'$%, где $%B'$%- диагональная матрица. Из равенств $%B'B'=S^{-1}BSS^{-1}BS=S^{-1}BBS=S^{-1}AS$% следует, что $%A'=S^{-1}AS$% - тоже диагональная матрица, т.е. матрицы $%A$% и $%B$% приводятся к диагональному виду одним и тем же преобразованием. Т.к. элементы штрихованных матриц - это собственные значения нештрихованных, то из приведенных рассуждений вытекают следующие выводы.
1.1)Если матрица $%A$% является симметричной положительно определенной матрицей, то из нее извлекается корень в виде действительной матрицы.
1.2) Алгоритм вычисления корня из такой матрицы следующий: решить задачу на собственные значения, извлечь из собственных значений корни, составить из них диагональную матрицу, применить к ней преобразование, обратное к преобразованию, переводящему матрицу $%A$% к диагональному виду.
1.3) Количество различных матриц $%B$% равно $%2^n$%, т.к. для каждого собственного значения есть 2 значения корня - положительное и отрицательное.

2) Для комплексной матрицы рассуждения останутся в силе, если заменить симметричность на унитарность. Требование положительной определенности при этом, естественно, снимется.

3) Решение для общего случая. Предположим, что преобразование $%S$% приводит матрицу $%B$% не к диагональному, а к верхнему треугольному виду, т.е. матрица $%B'$% является верхней треугольной. Такое преобразование существует для любой квадратной матрицы. Легко убедиться, что матрица $%A'$% при этом тоже получится верхней треугольной, причем, диагональные элементы матрицы $%A'$% будут квадратами соответствующих диагональных элементов матрицы $%B'$%. Это позволяет найти все диагональные элементы матрицы $%B'$% извлечением корня из диагональных элементов матрицы $%A'$%, а затем по цепочке найти и все остальные элементы матрицы $%B'$%. Отсюда получаются следующие выводы.
3.1) Из любой комплексной матрицы извлекается корень, в общем случае таких корней $%2^n$%, но среди них могут быть совпадающие (кратные).
3.2) Алгоритм вычисления корней следующий: преобразовать матрицу $%A$% к верхнему треугольному виду, найти матрицу $%B'$% по сформулированному алгоритму и сделать обратное преобразование.
3.3) Необходимым и достаточным условием вещественности корней из вещественной матрицы является не отрицательность диагональных элементов после преобразования матрицы к треугольному виду. Не отрицательность детерминанта является условием необходимым, но недостаточным.

Дополнение 1 (ответ на комментарий). Вы имели в виду "к треугольному виду". Вообще, в пп. 1, 2 все абсолютно четко, а над п.3 нужно, видимо, еще подумать. Дело в том, что метод Гаусса может не сводиться к преобразованию $%S^{-1}AS$%, а на этом основано доказательство. Т.е. доказательство применимо только к тем матрицам, которые приводятся к треугольному виду преобразованием $%S^{-1}AS$%.

Дополнение 2. Похоже, в п.3 в целом все правильно, только нужно использовать преобразование матрицы $%A$% к Жордановой форме - для этого преобразования всегда есть матрица, получающаяся из решения задачи на собственные значения. Проблема в том, что квадрат Жордановой матрицы не является Жордановой матрицей (хотя является треугольной и даже двухдиагональной). Строгое обоснование алгоритма требует доказательства следующей теоремы: "Если $%A'=B'^2$% и $%A'$%- Жорданова матрица, то $%B'$%- треугольная матрица". Утверждение кажется верным, но как доказать - пока не знаю.

ссылка

отвечен 6 Окт '12 0:50

возвращен 22 Фев '13 19:58

Deleted's gravatar image


126

Отредактировал п.3., похоже, получилось полное решение.

(6 Окт '12 18:11) Андрей Юрьевич

Гениально))) Только возникает следующая задача: найти это преобразование $%S$%. Есть какие-то стандартные решения? Я не очень силен в матрицах, честно говоря.

(6 Окт '12 18:25) chameleon

Это обычный метод Гаусса. Теоретически его можно представить в виде матрицы преобразования, но практически его используют в виде алгоритма.

(6 Окт '12 18:44) Андрей Юрьевич

Не обязательно, можно просто обратить алгоритм, т.е. проделать те же шаги в обратном направлении, начав с последнего и закончив первым.

(6 Окт '12 18:55) Андрей Юрьевич

Берем матрицу:
-1 -1
1 -1
Преобразовываем к диагональному виду:
-1 -1
0 -2
Оба элемента на диагонали отрицательные, делаем вывод, что действительных корней нет. Но в изначальной матрице они есть! Видимо, в Ваших выводах закралась какая-то ошибка. Я ее не вижу, но она есть ((

(7 Окт '12 2:05) chameleon

У Вас вместо матриц - строки. Не понял, какую матрицу Вы берете?

(7 Окт '12 2:13) Андрей Юрьевич

Да это почему-то матрицы не отображаются нормально в коментах. Матрица 2 на 2: в первой строке -1, -1, во второй строке 1, -1.

(7 Окт '12 2:24) chameleon
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
4

Тут на какие-то вопросы уже ответили, поэтому я ограничусь двумя замечаниями.

Уже для матриц второго порядка, уравнение $%X^2=A$% может не иметь решений. Например, при $$A=\left(\begin{array}{l}0\ 1\\0\ 0\end{array}\right)$$ можно составить систему уравнений, которая будет иметь вид: $%x^2+yz=0$%, $%y(x+t)=1$%, $%z(x+t)=0$%, $%t^2+yz=0$%. Из второго уравнения $%x+t\ne0$%, поэтому $%z=0$%, и тогда $%x=t=0$%, что приводит к противоречию. Решений нет даже над $%{\mathbb C}$%.

Далее, уравнение может иметь и бесконечно много решений. Например, для матричных корней из "минус единицы", то есть для $%X^2=-E$%. Здесь система получается такая: $%x^2+yz=-1$%, $%y(x+t)=0$%, $%z(x+t)=0$%, $%t^2+yz=-1$%. Будем считать, что $%t=-x$%. Тогда второе и третье равенства выполняются, а четвёртое становится равносильным первому. Достаточно $%y$%, $%z$% выбрать какими угодно, и тогда $%x^2=-1-yz$%. Ясно, что можно ограничиться вещественными значениями, для которых $%yz<-1$%. Уже для матриц над $%{\mathbb R}$% возникает бесконечно много решений, если в этом случае положить $%x=\sqrt{-1-yz}$%, $%t=-x$%.

ссылка

отвечен 20 Фев '13 19:52

10|600 символов нужно символов осталось
2

Вопрос серьезный. По п. 4 - не всегда, например, диагональные матрицы четного порядка с отрицательными элементами (один из квадратных корней - диагональная матрица с комплексными числами). По другим пунктам нужно работать. Возможно нужно рассматривать алгебраические структуры квадратных матриц порядка $%n$%. Подход, связанный с решением в "лоб" (системы уравнений), мне кажется, не даст ожидаемого результата.

ссылка

отвечен 5 Окт '12 16:54

Спасибо. У меня есть подозрение, что квадратным корнем любой "вещественной" матрицы может быть либо вещественная матрица, либо матрица из элементов вида $%ix$%. Оно основано на смеси формулы $%\det(B^2)=(\det(B))^2$% и моей интуиции...

(5 Окт '12 19:01) chameleon

У Вас мощная интуиция!

(5 Окт '12 19:07) Anatoliy

Но, к сожалению, часто безосновательная $%=\mathbb{D}$%

(5 Окт '12 19:20) chameleon
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×404
×326

задан
5 Окт '12 13:39

показан
5139 раз

обновлен
22 Фев '13 19:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru