|
В треугольнике $%ABC$% проведена высота $%AD$%. На окружности, описанной вокруг треугольника $%ABD$%, взяли точку $%X$%, а на окружности описанной вокруг треугольника $%ACD -$% точку $%Y$% так, что точки $%X,D$% и $%Y$% лежат на одной прямой. Точки $%M$% и $%N -$% середины отрезков $%XY$% и $%BC$%. Докажите, что отрезки $%MN$% и $%AM$% перпендикулярны. задан 6 Янв '16 19:29 
Роман83 |
|
Из свойств вписанных углов следует, что $%\angle ABD=\angle AXD$%, и $%\angle ACD=\angle AYD$%. Поэтому треугольник $%ABC$% подобен треугольнику $%AXY$% по двум углам. При соответствующем преобразовании подобия, которое является композицией поворота и гомотетии, и переводит один треугольник в другой, медиана переходит в медиану, то есть $%AN$% переходит в $%AM$%. В частности, угол $%NAM$% равен углу поворота, то есть углу $%CAY$%, а последний равен $%CDY$% по свойству вписанных углов. В итоге оказывается, что четырёхугольник $%NAMD$% является вписанным, так как угол при $%A$% равен внешнему углу при $%D$%. Следовательно, угол $%AMN$% равен углу $%ADN$%, то есть является прямым. отвечен 6 Янв '16 20:12 
falcao |