|
Дана функция F(x), где a – параметр. Найти такое значение параметра a, чтобы функция f(x)=F'(x) была плотностью распределения вероятностей. Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение случайной величины X. Найти вероятности событий А, В, С: $$F(x)=a e^{-2x}+1 : x≥0$$ $$F(x)=0 : x<0$$ $$A:X<1;B:X≥1;C:0≤X≤2$$ у всех вариантов x имеет три диапазона, в среднем из которых и вычисляется параметр, только у меня два диапазона и я немножко не догоняю, что к чему приставить =) Также слегка неясно, как находить вероятность событий у непрерывной функции. Поможите плс, чем сможете =) задан 10 Янв '12 23:48 
Bl_cK |
|
Случайная величина X непрерывна по определению, если ее функция распределения $$F(x) = a e^{-2x}+1$$ является непрерывной функцией. Чтобы не было разрыва у функции F(x) в точке x=0, полагаем$$F(-0)=F(0) \Rightarrow 0=a\times e^{-2x}+1 $$. Подставим x=0 и получим $$ 0=a\times e^0+1 \Rightarrow 0=a\times 1+1 \Rightarrow a=-1$$ Вероятности $$P(A)=P(X<1)=F(1)=-e^{-2}+1$$ ; $$P(B)=P(X\geq 1)=1-P(X<1)=1-F(1)=e^{-2}$$; $$P(C)=P(0 \leq X\leq 2)=F(2)-F(0)=F(2)-0=-e^{-4}+1$$ ; плотность вероятности $$\frac {dF} {dx}= \begin{cases}2e^{-2x} & x \geq 0\\ 0 & x < 0\end{cases} $$ Математическое ожидание $$M(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)dx = \int_{0}^{\infty} x f(x)dx=\int_{0}^{\infty} x 2e^{-2x} dx =\frac {1} {2} $$ $$M(X^2)=\int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x)dx = \int_{0}^{\infty} x f(x)dx=\int_{0}^{\infty} x^2 2e^{-2x} dx =\frac {1} {2} $$ $$D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=\frac {1} {4}$$ $$\sigma=\sqrt{D(X)}=\frac {1} {2}$$ отвечен 11 Янв '12 9:51 
ValeryB долго думал. у функции f(x) может быть разрыв в т. х=0?
"Функция, имеющая конечную производную в точке, непрерывна в ней.", с нашим же параметром a=-1 f(x=0)=F'(x)=-2 a e^(-2x)=2
(11 Янв '12 20:32)
Bl_cK
плотность вероятностей может быть разрывной функцией. У Вас правильно записано F(x). Это не f(x)Любая f(x)>=0 может быть функцией плотности <=>, когда $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx =1$$
(11 Янв '12 21:06)
ValeryB
почему P(X<1)=F(1), а не P(X≥1)=F(1)?
(11 Янв '12 23:14)
Bl_cK
|