алгебра - Система уравнений

Из первого уравнения $%\sin x\cos y=3\cos x\sin y$%. Если $%\cos x=0$%, то $%\sin x\ne0$%, и тогда $%\cos y=0$%. Верно и обратное. Поэтому предположим, что $%\cos x\ne0$%, $%\cos y\ne0$%. Это даст $%\tan x=3\tan y$%.

Во втором уравнении $%\cos(2x+y)=\cos((x+y)+x)=\cos(x+y)\cos x-\sin(x+y)\sin x$%. Отсюда $%2\cos(x+y)\cos x=\sin(x+y)\sin x$%. Дополнительно преобразуя, имеем $%2(\cos x\cos y-\sin x\sin y)\cos x=(\sin x\cos y+\cos x\sin y)\sin x$%, откуда видно, что случай $%\cos x=\cos y=0$% даёт решение системы. В остальных случаях получается $%(2\cos^2x-\sin^2x)\cos y=3\sin x\cos x\sin y$%. Поделив обе части на $%\cos^2x\cos y$%, получаем $%2-\tan^2x=3\tan x\tan y$%. С учётом предыдущего равенства, это даёт $%\tan^2x=1$%, то есть либо $%\tan x=1$%, $%\tan y=\frac13$%, либо $%\tan x=-1$%, $%\tan y=-\frac13$%, что даёт ещё две серии решений.