Рассмотрим функции, определенные на промежутке и имеющие локальный экстремум в каждой его точке. В качестве примера можно привести функцию Дирихле (1 для рациональных и 0 для иррациональных). А существуют ли непрерывные на промежутке функции с таким свойством (или непрерывные с одной стороны)? UPD: кроме, конечно, константы.

задан 8 Янв '16 15:50

изменен 8 Янв '16 16:08

$%f(x)=1$%

(8 Янв '16 16:02) spades
10|600 символов нужно символов осталось
0

Среди непрерывных функций условию удовлетворяют только постоянные. Рассмотрим все отрезки с рациональными концами. На каждом из них функция принимает наибольшее и наименьшее значение. Множество таких значений не более чем счётно. Если каждая точка является точкой локального экстремума, то в этой точке значение функции является наибольшим или наименьшим на одном из отрезков с рациональными концами. Значит, множество значений функции не более чем счётно.

Если функция принимает разные значения в каких-то точках, то она, будучи непрерывной, принимает и континуум промежуточных значений, откуда всё следует.

Для односторонней непрерывности годятся кусочно-постоянные функции.

ссылка

отвечен 8 Янв '16 21:59

@falcao, но почему тогда аналогичные рассуждения не работают для всюду непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции? В чём тут существенное отличие?

(8 Янв '16 23:18) parquet

@parquet: эти соображения работают для любой непрерывной функции. Включая примеры нигде не дифференцируемых.

(8 Янв '16 23:48) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,140
×579
×111
×83

задан
8 Янв '16 15:50

показан
439 раз

обновлен
8 Янв '16 23:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru