В остроугольном треугольнике $%ABC$% проведены высоты $%BB_1$% и $%CC_1$%. На лучах $%BB_1$% и $%CC_1$% за точками $%B_1$% и $%C_1$% выбираются точки $%P$% и $%Q$% соответственно так, что $%\angle APC= \angle AQB=90^{\circ}$%. Радиусы окружностей, которые вписанные в треугольники $%APC$% и $%AQB$% равны. Обязательно ли треугольник $%ABC$% равнобедренный?

задан 8 Янв '16 21:27

10|600 символов нужно символов осталось
2

Аналитически все радиусы здесь выражаются через длины и углы исходного треугольника, но в таком виде что-то усмотреть достаточно трудно. Поэтому применим соображения непрерывности, показывая, что имеются неравнобедренные треугольники, для которых радиусы вписанных окружностей из условия совпадают.

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник $%AB'C'$% с прямым углом $%B'$% и катетом длины 1. На продолжении луча $%AB'$% за точку $%B'$% отмерим достаточно малое расстояние $%B'B=\varepsilon$%. Такое значение и точку $%B$% зафиксируем, а точку $%C$% сделаем подвижной, перемещая её по прямой $%B'C'$% от положения $%C'=C$% и далее, в сторону, противоположную положению точки $%B'$%.

При $%\varepsilon\to0$% точка $%Q$% будет стремиться к положению точки $%B'$%, и соответствующий радиус вписанной в $%AQB$% окружности будет стремиться к нулю. Точка $%P$% будет при этом стремиться к положению точки, для которой треугольник $%APC'$% будет равнобедренным прямоугольным с катетом 1. Радиус вписанной окружности будет стремиться к некоторому фиксированному положительному значению. Поэтому при достаточно малом $%\varepsilon$% окажется, что для треугольника $%ABC$% при $%C=C'$%, радиус окружности, вписанной в $%AQB$%, будет меньше радиуса окружности, вписанного в $%APC$%.

Теперь будем сдвигать точку $%C$% в бесконечность вдоль прямой $%B'C'$%. Высота $%CB'$% будет всё время одной и той же, и треугольник $%AQB$% не будет меняться. Прямая $%AC$% при этом будет в пределе стремиться к прямой, проходящей через $%A$% параллельно $%B'C'$%. Заметим, что треугольник $%ABC$% при всех положениях точки $%C$% остаётся остроугольным. Перпендикуляр, опущенный из $%B$% на $%AC$%, будет стремиться к положению прямой $%BA$%, и потому точка $%P$% будет стремиться к положению точки $%A$%, а радиус вписанной окружности будет стремиться к нулю. При $%C=C'$% он был больше фиксированного радиуса вписанной окружности для $%AQB$%, и при движении точки $%C$% он в какой-то момент станет равен этому радиусу. Треугольник при этом равнобедренным не будет, так как уже $%AC'$% больше $%AB$% по длине, а при движении точки $%C$% расстояние $%AC$% только увеличивается.

Добавление. Изложенное решение ошибочно (см. комментарии). Неверным является вывод о том, что в предельном положении точка $%P$% будет стремиться к положению точки $%A$%. На самом деле, $%P$% будет расположено выше $%A$% на расстоянии примерно $%1$%.

ссылка

отвечен 9 Янв '16 12:56

изменен 11 Янв '16 20:25

Не получается почему-то добавлять рисунки, пока не могу проиллюстрировать один момент, который здесь мне непонятен: "Теперь будем сдвигать точку $%C$% в бесконечность вдоль прямой $%B'C'$%. Высота $%CB'$% будет всё время одной и той же, и треугольник $%AQB$% не будет меняться. Прямая $%AC$% при этом будет в пределе стремиться к прямой, проходящей через $%A$% параллельно $%B'C'$%."

У меня на рисунке все как-то не так. Но его добавить пока сайт не позволяет.

(9 Янв '16 23:20) Роман83

@Роман83: если точку C сдвинуть вправо очень далеко, то угол ACB' будет стремиться к нулю. Это и значит, что прямая AC будет стремиться к параллельной. В пределах рисунка это всё, конечно, поместиться не может, но если отойти на километр, то понятно, что произойдёт именно это.

(10 Янв '16 0:10) falcao

@falcao: Спасибо!

(10 Янв '16 0:13) Роман83

@falcao: Я узнал решение задачи, точнее пока знаю ответ: можно доказать, что треугольник будет обязательно равнобедренный.

Может здесь не все правильно: "Перпендикуляр, опущенный из B на AC, будет стремиться к положению прямой BA, и потому точка P будет стремиться к положению точки A, а радиус вписанной окружности будет стремиться к нулю." ?

Ведь именно треугольник АРС будет прямоугольным с прямым углом Р, то есть АС - у нас очень большая сторона, причем "параллельная" к В'С', то есть фактически угол В'АС фактически прямой, но ведь нас интересует угол АРС.

(11 Янв '16 19:38) Роман83

@Роман83: да, именно так. Я как раз сегодня днём нашёл у себя в рассуждениях ошибку, и хотел об этом написать. Дело в том, что анализ предельного положения точки P приводит к следующему: треугольник APC превращается почти в полосу, с двумя почти параллельными сторонами, и PA примерно равно единице. Окружности вписана в эту полосу; радиус стремится к 1/2.

Ошибочное решение удалять не буду -- пусть остаётся "для истории". Я сделаю только примечание.

(11 Янв '16 20:23) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

Хотелось бы еще найти ошибку в этих рассуждениях: alt text

ссылка

отвечен 9 Янв '16 23:56

изменен 11 Янв '16 20:27

Можно вроде бы взять треугольник $%АРС: 3, 4$% и $%5$% радиус вписанной окружности равен $%1$% и треугольник $%AQB: 4+\sqrt2, 4-\sqrt2 , 6$%. Он тоже прямоугольный и радиус вписанной окружности равен $%1$%. Но можем ли мы так же используя соображения непрерывности сказать, что мы можем выбрать точки и так, чтобы они принадлежали прямым, содержащим высоты?

(10 Янв '16 17:09) Роман83

@Роман83: мне соображения этого типа приходили в голову. Не совсем такие, но с идеей построить какой-то конкретный треугольник на основе двух. Я даже 3,4,5 с этой целью задействовал. Но я не знаю, получится ли с Вашим примером. Потому что свободный параметр там один -- это угол. А высоты должны попасть в нужные точки -- это два условия. Я не уверен, что их можно совместить.

(10 Янв '16 18:07) falcao

@falcao: Спасибо. Я завтра уже буду знать авторское решение, если интересно, вместо рисунка я его здесь напишу.

(10 Янв '16 18:19) Роман83
1

@Роман83: ошибка в рукописном тексте понятно где. Угол $%\alpha$% здесь не подходит для обоих треугольников сразу. Для того, чтобы $%QB_1$% проходила через $%B$%, косинус $%\alpha$% должен быть иррациональным (он был найден). Но тогда аналогичное вычисление можно сделать для второго треугольника. Там $%AC_1=9/5$%, и тогда косинус того же угла равен $%3/10$% после деления на $%AC$%, то есть он рационален.

(11 Янв '16 20:50) falcao

@falcao: спасибо!

(11 Янв '16 21:24) Роман83
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×685

задан
8 Янв '16 21:27

показан
666 раз

обновлен
11 Янв '16 21:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru