$$R[X]/(2X+1)$$ - как выполнять подобные задания?

задан 9 Янв '16 19:30

изменен 9 Янв '16 21:00

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если в качестве коэффициентов берутся действительные числа, то получается не очень интересное упражнение. Суть понятия факторкольца в том, что то, по чему мы факторизуем, полагается равным нулю, то есть $%2X+1=0$%. Это значит, что $%X=-1/2$%. Разумеется, в самом кольце это равенство не выполнено, так как $%X$% -- переменная. Но оно выполнено в факторкольце (которое пока что нам не известно). Это значит, что переменной $%X$% придаётся значение $%-1/2$%, или что $%X$% переходит в число $%-1/2$%. Тогда, если представить себе, что у нас имеется гомоморфизм колец, то суммы переходят в суммы, а произведения -- в произведения. И тогда произвольный многочлен $%f(X)$% перейдёт в число $%f(-1/2)$%.

Это была эвристическая часть, а теперь то же самое изложим на формальном уровне, уже зная, как мы пришли к этой идее. Каждому элементу кольца многочленов $%\mathbb R[X]$% сопоставляем его значение в точке $%X=-1/2$%, то есть рассматриваем отображение $%\varphi\colon\mathbb R[X]\to\mathbb R$%, где $%\varphi(f)=f(-1/2)$% для любого $%f\in\mathbb R[X]$%. Из правил сложения и умножения многочленов следует, что $%\varphi(f+g)=\varphi(f)+\varphi(g)$%, и $%\varphi(fg)=\varphi(f)\varphi(g)$%, то есть перед нами гомоморфизм колец. Он сюръективен, потому что любое действительное число является значением многочлена-константы в заданной точке.

Теперь найдём ядро этого гомоморфизма. Пусть многочлен $%f$% принадлежит ядру. Тогда $%\varphi(f)=0$%, то есть $%f(-1/2)=0$%. Это значит, что число $%-1/2$% является корнем многочлена $%f(X)$%. По теореме Безу, он делится на двучлен $%X+1/2$%, то есть $%f(X)=(X+1/2)g(X)=(2X+1)\frac{g(X)}2$% для некоторого многочлена $%g\in\mathbb R[X]$%. Это значит, что $%f$% принадлежит главному идеалу, порождённому многочленом $%2X+1$%, обозначаемому в виде $%(2X+1)$% и по определению, состоящему из всех кратных данного многочлена. Верно также и обратное. Значит, ядро гомоморфизма $%\varphi$% равно $%(2X+1)$%, и поэтому факторкольцо $%\mathbb R[X]/(2X+1)$% изоморфно образу этого гомоморфизма, то есть кольцу (полю) $%\mathbb R$%, в силу теоремы о гомоморфизмах.

ссылка

отвечен 9 Янв '16 19:50

@falcao, а что бы изменилось, если бы было C[X]/(2X+1)? Рассматривалось бы то же отображение $$\phi: C[X] \rightarrow C$$ ? Или допустим, если бы мы взяли Q[X]/(2X+1), то у нас получился бы ответ Q? А вот если возъмём F2[X]/(2X+1) то у нас бы вообще не получилось ответа, так как в F2 нет решения уравнения 2X+1?

(9 Янв '16 20:31) LonelyGamer

@LonelyGamer: для рациональных и комплексных чисел всё то же самое -- в ответе они и получатся. Для поля из двух элементов надо заметить, что 2=0, то есть факторизация проводится по единичному идеалу (1), то есть по всему кольцу. В таких случаях всегда получается нулевое кольцо. Интересный случай получается для кольца целых коэффициентов, когда в самом кольце уравнение не имеет решений.

(9 Янв '16 20:34) falcao

@falcao, например вот это?: F3[X]/(2X+1) И что тогда?

(9 Янв '16 20:52) LonelyGamer
2

@LonelyGamer: уравнение 2X+1=0 здесь будет означать -X+1=0, то есть X=1. Тогда f переходит в f(1), и факторкольцо изоморфно полю коэффициентов. Это всё то же самое.

(9 Янв '16 21:12) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×43

задан
9 Янв '16 19:30

показан
570 раз

обновлен
9 Янв '16 21:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru