Задачи про ведра с водой напомнили мне следующую интересную задачу, про которую я уже здесь упоминал при ответе на один из вопросов.

Ванна с водой стоит на абсолютно гладкой поверхности. Сверху в нее падает камень (не в центр!). Что произойдет с ванной? Сместится ли она? Если да, то как и почему? Качественно описать процессы, которые будут при этом происходить.

задан 6 Окт '12 1:41

Да, вроде уже есть такая задачка на хешкоде...

(6 Окт '12 1:58) chameleon

Форма ванны имеет какое-то значение? Обладает ли она зеркальной или осевой симметрией?

(6 Окт '12 2:14) chameleon

Да, в общем, не имеет, но для простоты давайте считать, что она имеет форму параллелепипеда.

(6 Окт '12 2:20) Андрей Юрьевич

Странно, а я бы предположил, что форма ванной всё-таки имеет значение. Например, если камень достаточно обтекаем, плотен и падает с достаточно большой скоростью, то его влияние на воду будет пренебрежимо мало, а определяющим будет то, под каким углом он ударится об дно/стенку. Так как сам камень падает вертикально, то всё будет зависеть именно от формы ванны.

(6 Окт '12 2:27) chameleon

В общем, пусть будет параллелепипед. Ванна наполнена не до краев, вода из нее не выливается.

(6 Окт '12 2:30) Андрей Юрьевич
10|600 символов нужно символов осталось
2

Допустим, после падения камня ванна совершит некие колебательные движения, а когда успокоится, то будет двигаться горизонтально со скоростью $%\overline{v}$%. По закону сохранения импульсов: $%\overline{p_k}=\overline{p_v}+\overline{p_p}$%, где $%\overline{p_k}$% - импульс летящего камня, $%\overline{p_v}=m\overline{v}$% - импульс ванны, $%\overline{p_p}$% - импульс, переданный полу (поверхности, на которой стоит ванна) силой упругости. В силу абсолютной гладкости пола, сила трения ванны о пол отсутствует. Значит, $%\overline{p_p}$% направлен вертикально, как и $%\overline{p_k}$%. Следовательно $%\overline{p_v}=0, \overline{v}=0$%. То есть, в итоге ванна остановится.
ПРАВКА:
Предположим, что дно ванной - не плоскость, а некая гладкая симметричная поверхность с минимумом в центре. Тогда камень вконце скатится в центр. Значит, по закону сохранения центра масс: $%m_k\overline{OP_k}=(m_v+m_k)\overline{OP_v}$%, где $%m_k$% - масса камня, $%m_v$% - масса ванной и воды в ней, $%O$% - изначальное положение ванной (ее центра), $%P_k$% - точка падения камня, $%P_v$% - конечное положение ванной. Отсюда находим, насколько и в каком направлении сдвигается ванна: $$\overline{OP_v}=\frac{m_k}{m_v+m_k}\overline{OP_k}\approx\frac{m_k}{m_v}\overline{OP_k}$$ Если самая нижняя точка ванной находится не в центре, то просто меняем значение точки $%O$%.

ссылка

отвечен 6 Окт '12 3:09

изменен 6 Окт '12 14:51

Даю подсказку. Нужно рассмотреть положение центра масс системы "ванна+камень" до и после падения.

(6 Окт '12 13:56) Андрей Юрьевич

Предположение о минимуме в центре ванной остроумное, но не обязательное. Но вывод правильный - ванна сдвинется. Но ведь любое движение (=изменение скорости) может происходить только под воздействием сил, а никакие горизонтальные силы на систему "ванна+камень" не действуют. Так из-за чего произойдет движение? И каков будет его характер?

(6 Окт '12 17:07) Андрей Юрьевич

Из-за чего произойдет движение, я уже описал ранее: из-за того, что волна достигнет одного из краев ванной раньше, чем других. А также, из-за того, что в конце концов камень таки стукнется о дно ванной.
Ванна будет совершать сложные колебательные затухающие движения, при чем в общем случае не обязательно по прямой, в результате остановится в указанной в ответе точке. Можно также предположить, что при достаточно малой скорости камня и достаточно большой вязкости воды движения будут не колебательные, а просто затухающие.
P.S. в реальных ваннах всегда есть точка минимума - это точка слива :)

(6 Окт '12 17:36) chameleon
10|600 символов нужно символов осталось
1

Я принял ответ @chameleon, т.к. по сути он правильный. Но хотелось бы уточнить некоторые важные моменты. Итак, привожу решение.

1) Сдвинется ли ванна? Обозначим через $%G$% ту область пространства, которую займет камень в ванне, для определенности будем считать, что она находится в левой части ванны. Раньше область $%G$% была заполнена водой. После падения камня вода из области $%G$% была вытеснена наверх и равномерно распределилась по ванне, поэтому горизонтальная проекция центра масс вытесненной воды совпала с горизонтальной проекцией центра ванны, т.е. сместилась вправо относительно ванны. Т.к. на систему "камень+ванна" не действовали никакие горизонтальные силы, то горизонтальная проекция центра масс системы должна остаться на месте, а это возможно только в том случае, если сама ванна сдвинется влево.

2) За счет каких сил будет происходить движение и каким будет его характер? После падения камня в воду из места падения начнет распространяться волна. Т.к. среда изотропная, то фронт волны сначала достигнет ближайшей, т.е. левой стенки ванны, передав этой стенке (а значит и всей ванне!) импульс влево. При этом волна, отразившись от левой стенки, побежит вправо, а сама ванна начнет двигаться влево. Однако через некоторое время удару подвергнется и правая стенка: сначала по ней ударит первичная волна (удар будет слабее, чем по левой стенке, т.к. амплитуда волны уменьшается с расстоянием), а затем добавит и волна, отраженная от левой стенки (ее амплитуда будет еще меньше). Все это приведет к гашению скорости и даже - к медленному движению вправо. После отражения от правой стенки эти волны (еще ослабнув) ударят по правой и т.д. Вот эти процессы и приведут к затухающим колебаниям.
Это интересный пример физической системы, в которой реализуются затухающие колебания без диссипации энергии, даже в предположении, что вязкость воды равна нулю.

Дополнение. Уважаемый @chameleon, т.к. лимит комментариев исчерпан, отвечаю здесь. Ничего исправлять не нужно. Мое решение соответствует приближению плоского шероховатого дна и мелкой ванны. Ваше - случаю вогнутого гладкого дна с минимумом в центре. Строго говоря, при отсутствии вязкости и трения Ваш случай реализоваться не может - камень будет совершать колебания по дну вблизи минимума, в вместе с ним будет колебаться и ванна. Но на этот случай введем небольшую вязкость, это не принципиально. Принципиальный момент в этой задаче, из которого, собственно и следует ответ - это закон сохранения импульса, который в данном случае трансформируется в сохранение горизонтальной проекции центра масс. Вообще-то можно придумать такую конфигурацию ванны, при которой она вернется в первоначальное положение. Ну и что? Самое главное, что ВООБЩЕ ГОВОРЯ ванна смещается - в этом смысл задачи. А чтобы не попасть в частный случая нулевого смещения я и использовал приближение мелкой ванны в форме параллелепипеда с сильно шероховатым дном. Просто в таком приближении все прозрачно.

Дополнение 2 (для @АлекСт).
1) Вы,видимо, невнимательно прочитали мое решение. В момент падения камня возникнет только воздействие на ближайшие к нему слои воды, которое, конечно будет абсолютно симметрично. Ванна в этот момент никуда не сдвинется, т.к. на ее стенки в этот момент еще ничего не подействовало. Можно сказать, что в момент удара камня о воду ванна "еще ничего не знает" об этом событии. "Узнает" о падении ванна в тот момент, когда до ее стенки дойдет волна (которая распространяется с большой, но с конечной скоростью). Но в том то и дело, что волна сначала дойдет до ближайшей стенки и именно ей передаст импульс. Поэтому первоначальная сдвижка будет именно в сторону ближайшей стенки. Ну а что будет дальше, я уже написал, повторяться не буду.
2) Отличие ванны от коробки с банкой заключается в налчие воды, которая, во-первых, обладает массой, а, во-вторых, эта масса перераспределяется по ванне после падения камня. А для коробки с банкой и горизонтальный центр тяжести банки, и горизонтальный центр тяжести коробки, и общий горизонтальный центр тяжести системы "коробка+банка" остаются на месте - с чего им смещаться?

Дополнение 3 (для @АлекСт).
Это Вы не поняли. Из того, что импульс переданный первичными волнами правой и левой стенкам в разные моменты времени одинаков, не следует, что ванна не сместится. Как раз наоборот. Получив "левый" импульс, она поедит влево и успеет проехать какое-то расстояние до тех пор, пока ее не остановит "правый" импульс. Далее процесс многократно повторится с парами первичных отраженных волн, вторичных отраженных волн и т.д., но каждая следующая пара волн будет СЛАБЕЕ предыдущей, из-за передачи части энергии стенке. В конечном итоге ванна окажется смещенной: пара первичных волн сместит ее на некоторое расстояние $%\Delta x_0$% влево, пара первичных отраженных волн на расстояние $%\Delta x_1$% вправо, причем, $%\Delta x_1 < \Delta x_0$% и т.д. Результирующее смещение $%\Delta x = \Delta x_0- \Delta x_1 + \Delta x_2 - \Delta x_3 ... >0$%, т.е. ванна все-таки сместится.
То, что я написал - это не доказательство факта смещения, а иллюстрация процессов. Доказательство факта смещения следует из закона сохранения импульса, и обсуждать тут, собственно, нечего.

ссылка

отвечен 6 Окт '12 19:19

изменен 15 Янв '13 15:55

В рассуждениях из пункта 1 Вы, как я понимаю, опираетесь на то, что камень после падения в воду продолжал двигаться вертикально. А это не обязательно так.

(6 Окт '12 19:46) chameleon

Нет, я просто предположил, что он куда-то упадет (не в центр).

(6 Окт '12 19:49) Андрей Юрьевич

Для того, чтобы камень горизонтально сместился, на него должна подействовать какая-то горизонтальная сила. Эта сила могла бы возникнуть за счет неплоского дна, но я уточнил в вопросе, что дно плоское, ванна - параллелепипед. Для неплоского дна будут верны Ваши рассуждения, но суть (неподвижность горизонтальной проекции центра масс) останется.

(6 Окт '12 20:12) Андрей Юрьевич

Эта горизонтальная сила - отраженная от стенки волна

(6 Окт '12 20:14) chameleon

Эта волна будет поверхностной, к тому времени, когда она вернется в точку вхождения камня в воду, камня там уже не будет. Но даже если предположить, что волна распространяется в глубинных слоях, все равно, для каждого слоя будет верно это же рассуждение: когда волна вернется в точку своего возбуждения, источника возбуждения (т.е. камня) там уже не будет. Ну а ко дну, предположим, он намертво прилипает.

(6 Окт '12 20:27) Андрей Юрьевич

Как физик, я просто обязан взбунтовать! Волна распространяется во всех направлениях сразу! Вы недопустимо сильно упрощаете модель.

(6 Окт '12 20:32) chameleon

Рассуждения п.1 ответа строго говоря справедливы только для мелкой ванны, т.е. при условии, что время "утопания" камня меньше времени распространения волны. Для "глубокой" ванны рассуждения несколько усложнятся, но суть не изменится.

(6 Окт '12 20:48) Андрей Юрьевич

Да-да, камень, намертво прилипающий ко дну ванной =)
Кажется, мы оба уже час как дактилософствуем. Чтоб получить формальное решение, надо или исправить Ваше решение с учетом смещения камня, или исправить моё с учетом того, что конечное "положение ванной" и конечный "центр масс системы" - не одно и то же, если камень не переместится в центр.

(6 Окт '12 20:57) chameleon
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

Считаю, что ванна никуда не сдвинется. Я рассуждаю так. После падения камня будут колебательные движения, характер которых определяется формой ванны и местом падения — это задаёт картину распространения упругой волны. В момент же падения камня (считаю его шаром, а поверхность воды - ровной) передача импульса (а значит, и силы) от камня воде симметрична во все стороны относительно вертикали падения. Это значит, что равнодействующая возникшей в момент падения силы в горизонтальной проекции равна нулю. А значит, отсутствует ненулевая среднедействующая (в отличие от колеблющих стенки) сила, совершающая работу по перемещению.

Перемещение возможно в случае, когда у ванны наклонные стенки, и он ударяет в одну из них. Тогда получается, что ванне через стенку передаётся часть кинетической энергии камня $$ \frac{mV_{{\perp}{удар}}^2}{2} , где $$$$ V_{{\perp}{удар}} = V_{удар}\cdot cos(\alpha), где $$$$ V_{удар}-скорость\ камня\ в\ момент\ удара,\ \alpha - угол\ наклона\ стенки\ к\ горизонтальной\ плоскости$$

Вопрос к Андрею Юрьевичу, а что обязывает ванну сохранять свой центр масс? Вот к примеру лежит открытая коробка из-под обуви. Я вытряхиваю в неё сверху банку варенья :) (куда-нибудь не в центр). Разве коробка обязана после этого сместиться?

UPD

(Лимит комментариев, пишу здесь)

А вот здесь Вы не правы. Стукнувшись о стенку, волна передаст часть своей энергии ванне, поэтому, амплитуда отраженной волны будет меньше, чем амплитуда падающей.

Вы не поняли. Я говорю не о отражённой волне, а о распространяющейся в другую сторону. Фронт волны, идущей влево, быстрее достигнет левой стенки ванны, его амплитуда $% \left( \Delta p \right) $% на момент удара будет больше, чем для правой стенки $% \left( \Delta p_{влево} \gt \Delta p_{вправо} \right) $%, а площадь соударения — меньше $% \left( S_{слева} \lt S_{справа} \right) $%. Я считаю, что силы будут равны $% F_{влево}=\Delta p_{влево} \cdot S_{слева} = \Delta p_{вправо} \cdot S_{справа} = F_{вправо} $%, но приложены в разные моменты времени, что вызовет колебания, но без перемещения ванны в конечном счёте.

Ответ на дополнение 3(@Андрей Юрьевич) Понял вас, звучит логично, спасибо за разъяснения :).

ссылка

отвечен 14 Янв '13 14:00

изменен 15 Янв '13 16:16

АлекСт, а Вы посмотрите на решение Андрея Юрьевича! Оно основывается на том, что после падения камня сместится центр масс воды в ванной (относительно ванной). А в Вашем примере вода отсутствует, так что он ничего не доказывает и не опровергает.
P.S. И зря Вы так с вареньем!

(14 Янв '13 15:32) chameleon

см. дополнение к ответу

(14 Янв '13 16:37) Андрей Юрьевич

@chameleon Хорошо, центр масс смещается, но почему это должно вызывать перемещение ванны? Внутри ванны произошло перераспределение масс, почему она должна двигаться? Какие силы это вызывают? (Варенье - первое тело, пришедшее в голову, которое бы шлёпнулось абсолютно неупруго :) )

(14 Янв '13 16:47) АлекСт

@Андрей Юрьевич

После отражения от правой стенки эти волны (еще ослабнув) ударят по правой и т.д.

А вот мне кажется, что, поскольку энергия волны будет одинакова во всех направлениях, это определит то, что фронт волны с визуально ослабленным гребешками за счёт большей площади врежет по противоположной стене с эквивалентной энергией. То есть, ванна "узнает" о камне протовоположной стенкой с такой же силой, просто моменты "узнавания" будет сдвинуты во времени. Давление во фронте волны меньше, а площадь больше. Я предчувствую баланс :)

(14 Янв '13 16:56) АлекСт

Это, пожалуй, правильно, в идеальной системе системе затухания волны с расстоянием не будет. Но это предположение только "почистит" процесс: сначала ванна поедет влево, потом удар волны по правой стенке ее остановит, затем до правой стенки дойдет отраженная от левой стенки волна и она поедет вправо с меньшей скоростью, затем удар отраженной от правой стенки волны ударит по левой, остановив ванну, и т.д. - импульсно-затухающие колебания.

(14 Янв '13 18:17) Андрей Юрьевич

и она поедет вправо с меньшей скоростью

с этим я не согласен. Почему вы думаете, что с меньшей? Затухание волны обусловлено не расстоянием, а именно расширяющимся по площади фронтом. При этом её энергия очень даже возможно, что сохраняется. А фронт волны, который пошёл вправо, больше фронта, который пошёл влево. По гребешкам тут неоднозначно. Думаю, нужен эксперимент. Пока что вы меня не убедили :)

(14 Янв '13 20:50) АлекСт

А вот здесь Вы не правы. Стукнувшись о стенку, волна передаст часть своей энергии ванне, поэтому, амплитуда отраженной волны будет меньше, чем амплитуда падающей.

(14 Янв '13 21:03) Андрей Юрьевич

@Андрей Юрьевич приписал ответ на ваш комментарий к своему ответу (после UPD). P.S. писать уже становится некуда! :)

(15 Янв '13 14:17) АлекСт
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×139
×16

задан
6 Окт '12 1:41

показан
1663 раза

обновлен
15 Янв '13 16:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru