|
Привести пример непрерывной дифференцируемой на $%\mathbb{R}\times\mathbb{R}$% функции $%f(x,y)$%, трехмерной точки $%\overline p:z_p \neq f(x_p;y_p)$% и вектора $%\overline v$% таких, что луч, пущенный из $%\overline p$% вдоль $%\overline v$%, будет зеркально отражаться от поверхности $%z=f(x,y)$% бесконечное число раз. задан 6 Окт '12 7:31 
chameleon |
|
Пусть $%f(x,y)=x^2+y^2, p$% - точка, отличная от фокуса параболоида, $%\forall k\in\mathbb{R} v\neq (0,0,k)$%. Если луч отразится лишь конечное число раз, то в какой-то момент он полетит перпендикулярно плоскости $%z=0$%. Значит до этого он летел по прямой от точки отражения до фокуса, а значит перед предпоследним отражением он летел перпендикулярно плоскости $%z=0$%. Противоречие. отвечен 6 Окт '12 17:30 
dmg3 Любопытная версия. Но на самом деле есть более легкие ответы.
(6 Окт '12 17:49)
chameleon
|
|
Авторское решение: возьмем функцию $%z=z(x)$%, имеющую перегиб в точке $%x_0$%:
$$z''(x_0)=0,z'''(x_0)\neq0$$
$$\overline v=\epsilon\overline{(1;0;z'(x_0))}$$
$$\overline p=\overline{(x_0;0;z(x_0))}-\overline v$$
где $%\epsilon$% - достаточно малое число для того, чтобы луч не пересек поверхность в точке, отличной от $%\overline{(x_0;0;z(x_0))}$%. отвечен 7 Окт '12 23:13
chameleon |