|
$%f(x)$% - монотонно возрастающая бесконечно дифференцируемая функция. $%D(f)=E(f)=\mathbb{R}$%. Следует ли из этого, что обратная к ней функция $%f^{-1}(x)$% тоже бесконечно дифференцируема на всей числовой прямой? задан 6 Окт '12 15:53 
chameleon |
|
Нет, пусть $%f(x)=x^3$%. Тогда у $%f^{-1}$% нет производной в 0. Если $%\forall x\in\mathbb{R}$% $%f'(x)>0$%, то $%(f^{-1}(x))'=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}=(\frac{1}{x})\circ f'\circ f^{-1}.$% Если $%f,g\in C^n(M)$%, то нетрудно доказать формулу $$((f\circ g)^{(n)}(x))=\sum_{k_1+2k_2+..+mk_m=n}h(k_1,k_2,..,k_m)\cdot f^{(k_1+..+k_m)}(g(x))g'(x)^{k_1}g''(x)^{k_2}...g^{(m)}(x)^{k_m}$$, где $%h(k_1,k_2,..,k_m)$%- число способов разбить множество из $%n$% элементов на $%k_1$% множеств из 1 элемента, $%k_2$% из 2 элементов,..., $%k_m$% из $%m$% элементов. Значит, если $%f,g\in C^n(M)$%, то $%f\circ g\in C^n(M)$%. Значит, если $%f',f^{-1}\in C^n(M)$%, то $%(f^{-1})'\in C^n(M)$% и $%f^{-1}\in C^{n+1}(M)$%. Т.к. $%f^{-1}\in C^1(M), f^{-1}\in C^{\infty}(M).$% отвечен 6 Окт '12 17:10 
dmg3 Спасибо. А если $%(\forall x\in\mathbb{R})f'(x)>0$%?
(6 Окт '12 17:27)
chameleon
Тогда верно, но доказательство не уместится в комментарии.
(6 Окт '12 17:31)
dmg3
Тогда есть только два варианта: или написать доказательство в ответе, или я поверю Вам на слово :)
(6 Окт '12 17:47)
chameleon
P.S. если это является общеизвестным фактом, то ссылка на литературу/статью будет блестящим доказательством, которое поместится в комментарии ;)
(6 Окт '12 17:54)
chameleon
|