$%f(x)$% - монотонно возрастающая бесконечно дифференцируемая функция. $%D(f)=E(f)=\mathbb{R}$%. Следует ли из этого, что обратная к ней функция $%f^{-1}(x)$% тоже бесконечно дифференцируема на всей числовой прямой?

задан 6 Окт '12 15:53

10|600 символов нужно символов осталось
2

Нет, пусть $%f(x)=x^3$%. Тогда у $%f^{-1}$% нет производной в 0. Если $%\forall x\in\mathbb{R}$% $%f'(x)>0$%, то $%(f^{-1}(x))'=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}=(\frac{1}{x})\circ f'\circ f^{-1}.$% Если $%f,g\in C^n(M)$%, то нетрудно доказать формулу $$((f\circ g)^{(n)}(x))=\sum_{k_1+2k_2+..+mk_m=n}h(k_1,k_2,..,k_m)\cdot f^{(k_1+..+k_m)}(g(x))g'(x)^{k_1}g''(x)^{k_2}...g^{(m)}(x)^{k_m}$$, где $%h(k_1,k_2,..,k_m)$%- число способов разбить множество из $%n$% элементов на $%k_1$% множеств из 1 элемента, $%k_2$% из 2 элементов,..., $%k_m$% из $%m$% элементов. Значит, если $%f,g\in C^n(M)$%, то $%f\circ g\in C^n(M)$%. Значит, если $%f',f^{-1}\in C^n(M)$%, то $%(f^{-1})'\in C^n(M)$% и $%f^{-1}\in C^{n+1}(M)$%. Т.к. $%f^{-1}\in C^1(M), f^{-1}\in C^{\infty}(M).$%

ссылка

отвечен 6 Окт '12 17:10

изменен 6 Окт '12 18:23

Спасибо. А если $%(\forall x\in\mathbb{R})f'(x)>0$%?

(6 Окт '12 17:27) chameleon

Тогда верно, но доказательство не уместится в комментарии.

(6 Окт '12 17:31) dmg3

Тогда есть только два варианта: или написать доказательство в ответе, или я поверю Вам на слово :)

(6 Окт '12 17:47) chameleon

P.S. если это является общеизвестным фактом, то ссылка на литературу/статью будет блестящим доказательством, которое поместится в комментарии ;)

(6 Окт '12 17:54) chameleon
1

Насчет литературы сказать не могу, это доказательство я сам придумал.

(6 Окт '12 20:38) dmg3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,682
×73
×17

задан
6 Окт '12 15:53

показан
1411 раз

обновлен
6 Окт '12 20:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru