Для каждого натурального $%n \ge 2$% найти наибольшее действительное число $%C_n$% такое, что неравенство $$\frac{1}{1+a_1}+\frac{1}{1+a_2}+...+\frac{1}{1+a_n}\ge C_n$$ выполняется для любого множества положительных чисел $%a_1,a_2,...,a_n$%, произведение которых равно $%1%$%, то есть $%a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n=1$%.

задан 15 Янв '16 12:53

10|600 символов нужно символов осталось
2

Устремляя $%a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}\to\infty$%, находим, что $%C_n\leqslant 1$%

По индукции докажем, что $%\frac{1}{a_1+1}+\frac{1}{a_2+1}+\ldots +\frac{1}{a_n+1} \geqslant 1$%, откуда будет следовать, что $%C_n= 1$%

При $%n=2$%
$%\frac{1}{a_1+1}+\frac{1}{a_2+1}=\frac {1+a_1+a_2+1}{(1+a_1)(1+a_2)}=1$%

Пусть выполнено для $%n-1$%.

$%1 \leqslant \frac{1}{a_1a_2+1}+\frac{1}{a_3+1}+\ldots +\frac{1}{a_n+1} \leqslant \frac{1}{a_1+1}+\frac{1}{a_2+1}+\frac{1}{a_3+1}+\ldots +\frac{1}{a_n+1}$%

Поскольку $% \frac{1}{a_1+1}+\frac{1}{a_2+1} -\frac{1}{a_1a_2+1} = \frac { a_1a_2(a_1+a_2+1)+1}{(a_1a_2+1)(a_1+1)(a_2+1))} \geqslant 0$%

ссылка

отвечен 16 Янв '16 3:13

изменен 16 Янв '16 3:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×172

задан
15 Янв '16 12:53

показан
214 раз

обновлен
16 Янв '16 3:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru