математика - Решение тригонометрического неравенства

Достаточно решить неравенство на отрезке длиной в период, а затем периодически продолжить найденное множество решений.

Запишем $%\cos2x$% в виде $%(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)$%. Тогда в левой части получится произведение $%\cos x-\sin x$% и $%\sqrt2(\cos x+\sin x)+1$%. Второе выражение можно записать как $%2\cos(x-\frac{\pi}4)+1$%.

Теперь решим сначала уравнения вместо неравенств, разбивая отрезок $%x\in[0;2\pi]$% на промежутки. Условию $%\cos x-\sin x=0$% соответствуют точки $%x=\frac{\pi}4$% и $%x=\frac{5\pi}4$%. Удобно изобразить углы на единичной окружности. Тогда из этих же условий видно, на какой дуге получается положительное значение выражения $%\cos x-\sin x$% (снизу), и на какой отрицательное.

Для уравнения $%2\cos(x-\frac{\pi}4)+1=0$% получается $%x-\frac{\pi}4\in\{\frac{2\pi}3,\frac{4\pi}3\}$%, откуда $%x\in\{\frac{11\pi}{12},\frac{19\pi}{12}\}$%. Легко видеть, что отрицательное значение получается при тех $%x$%, которые расположены между этими корнями, а для остальных оно положительно.

Применяя метод интервалов, при рассмотрении дуг единичной окружности, получаем две дуги окружности, на которых значение произведения неотрицательно. Удобно при этом параметризовать окружность так, чтобы угол принимал значения от $%-\frac{\pi}2$% до $%\frac{3\pi}2$%. Укажем окончательную форму ответа, прибавляя период. Получится объединение множеств вида $%[-\frac{5\pi}{12}+2\pi k;\frac{\pi}4+2\pi k]\cup[\frac{11\pi}{12}+2\pi k;\frac{5\pi}4+2\pi k]$% по всем $%k\in\mathbb Z$%.