cosx + √2cos2x - sinx >= 0

задан 18 Янв '16 18:56

изменен 18 Янв '16 20:18

10|600 символов нужно символов осталось
2

Достаточно решить неравенство на отрезке длиной в период, а затем периодически продолжить найденное множество решений.

Запишем $%\cos2x$% в виде $%(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)$%. Тогда в левой части получится произведение $%\cos x-\sin x$% и $%\sqrt2(\cos x+\sin x)+1$%. Второе выражение можно записать как $%2\cos(x-\frac{\pi}4)+1$%.

Теперь решим сначала уравнения вместо неравенств, разбивая отрезок $%x\in[0;2\pi]$% на промежутки. Условию $%\cos x-\sin x=0$% соответствуют точки $%x=\frac{\pi}4$% и $%x=\frac{5\pi}4$%. Удобно изобразить углы на единичной окружности. Тогда из этих же условий видно, на какой дуге получается положительное значение выражения $%\cos x-\sin x$% (снизу), и на какой отрицательное.

Для уравнения $%2\cos(x-\frac{\pi}4)+1=0$% получается $%x-\frac{\pi}4\in\{\frac{2\pi}3,\frac{4\pi}3\}$%, откуда $%x\in\{\frac{11\pi}{12},\frac{19\pi}{12}\}$%. Легко видеть, что отрицательное значение получается при тех $%x$%, которые расположены между этими корнями, а для остальных оно положительно.

Применяя метод интервалов, при рассмотрении дуг единичной окружности, получаем две дуги окружности, на которых значение произведения неотрицательно. Удобно при этом параметризовать окружность так, чтобы угол принимал значения от $%-\frac{\pi}2$% до $%\frac{3\pi}2$%. Укажем окончательную форму ответа, прибавляя период. Получится объединение множеств вида $%[-\frac{5\pi}{12}+2\pi k;\frac{\pi}4+2\pi k]\cup[\frac{11\pi}{12}+2\pi k;\frac{5\pi}4+2\pi k]$% по всем $%k\in\mathbb Z$%.

ссылка

отвечен 18 Янв '16 21:58

10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

alt text

Я в своем репертуаре(как всегда опоздал)

ссылка

отвечен 18 Янв '16 22:47

@epimkin: а зачем так сложно решать неравенство $%\cos x\ge\sin x$%? Ведь оно получается из определений функций: абсцисса не меньше ординаты (для точек единичной окружности).

(18 Янв '16 23:02) falcao

@falcao, привычка

(18 Янв '16 23:04) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,765
×2,112
×799
×340
×221

задан
18 Янв '16 18:56

показан
811 раз

обновлен
18 Янв '16 23:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru