Является ли функция P(x,y)=1-2^(−|x−y|) метрикой на R ? первые два свойства ( аксиома симметричности и аксиома тождества) доказываются легко. Проблема встает с доказательством аксиомы треугольника. Помогите ее доказать.

задан 19 Янв '16 18:13

10|600 символов нужно символов осталось
0

Требуется проверить справедливость такого неравенства: $$1-\frac1{2^{|x-z|}}\le1-\frac1{2^{|x-y|}}+1-\frac1{2^{|y-z|}}$$ для любых $%x,y,z\in\mathbb R$%. Оно равносильно следующему: $$\frac1{2^{|x-y|}}+\frac1{2^{|y-z|}}\le1+\frac1{2^{|x-z|}}.$$ Заметим, что каждое из двух слагаемых в левой части не превосходит единицы. Поэтому неравенство будет верно как в случае $%|x-y|\ge|x-z|$%, так и в случае $%|y-z|\ge|x-z|$%: одно слагаемое в левой части сравниваем с последним слагаемым в правой части, а другое с единицей.

Осталось рассмотреть случай, когда $%|x-y| < |x-z|$% и $%|y-z| < |x-z|$%. Рассмотрим на числовой прямой точки $%x$% и $%z$%. Если точка $%y$% не лежит между $%x$% и $%z$%, то расстояние от неё до наиболее удалённой из точек $%x$%, $%z$% больше, чем расстояние между $%x$% и $%z$%. Это значит, что одно из наших неравенство нарушается.

Таким образом, можно считать, что $%|x-y|+|y-z|=|x-z|$%. Положим для краткости $%a=\frac1{2^{|x-y|}}$% и $%b=\frac1{2^{|y-z|}}$%. Тогда наше неравенство приобретает вид $%a+b\le1+ab$%, что равносильно $%(1-a)(1-b)\ge0$%. Это верно, поскольку $%a\le1$% и $%b\le1$%.

ссылка

отвечен 19 Янв '16 19:46

falcao, не понятен абзац со слов "Таким образом, можно считать,". Откуда мы взяли, что "можно считать, что |x−y|+|y−z|=|x−z|." Поясните, пожалуйста.

(19 Янв '16 21:21) laser22

@laser22: это определение понятия "лежать между". Представьте себе точку y на числовой прямой между x и z. Тогда расстояние от x до y плюс расстояние от y до z равно расстоянию от x до z. А модуль разности -- это как раз и есть расстояние.

(19 Янв '16 21:42) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×20

задан
19 Янв '16 18:13

показан
915 раз

обновлен
19 Янв '16 21:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru