метрика - Является ли функция метрикой на R ?

Требуется проверить справедливость такого неравенства: $$1-\frac1{2^{|x-z|}}\le1-\frac1{2^{|x-y|}}+1-\frac1{2^{|y-z|}}$$ для любых $%x,y,z\in\mathbb R$%. Оно равносильно следующему: $$\frac1{2^{|x-y|}}+\frac1{2^{|y-z|}}\le1+\frac1{2^{|x-z|}}.$$ Заметим, что каждое из двух слагаемых в левой части не превосходит единицы. Поэтому неравенство будет верно как в случае $%|x-y|\ge|x-z|$%, так и в случае $%|y-z|\ge|x-z|$%: одно слагаемое в левой части сравниваем с последним слагаемым в правой части, а другое с единицей.

Осталось рассмотреть случай, когда $%|x-y| < |x-z|$% и $%|y-z| < |x-z|$%. Рассмотрим на числовой прямой точки $%x$% и $%z$%. Если точка $%y$% не лежит между $%x$% и $%z$%, то расстояние от неё до наиболее удалённой из точек $%x$%, $%z$% больше, чем расстояние между $%x$% и $%z$%. Это значит, что одно из наших неравенство нарушается.

Таким образом, можно считать, что $%|x-y|+|y-z|=|x-z|$%. Положим для краткости $%a=\frac1{2^{|x-y|}}$% и $%b=\frac1{2^{|y-z|}}$%. Тогда наше неравенство приобретает вид $%a+b\le1+ab$%, что равносильно $%(1-a)(1-b)\ge0$%. Это верно, поскольку $%a\le1$% и $%b\le1$%.