Является ли функция P(x,y)=1-2^(−|x−y|) метрикой на R ? первые два свойства ( аксиома симметричности и аксиома тождества) доказываются легко. Проблема встает с доказательством аксиомы треугольника. Помогите ее доказать. задан 19 Янв '16 18:13 laser22 |
Требуется проверить справедливость такого неравенства: $$1-\frac1{2^{|x-z|}}\le1-\frac1{2^{|x-y|}}+1-\frac1{2^{|y-z|}}$$ для любых $%x,y,z\in\mathbb R$%. Оно равносильно следующему: $$\frac1{2^{|x-y|}}+\frac1{2^{|y-z|}}\le1+\frac1{2^{|x-z|}}.$$ Заметим, что каждое из двух слагаемых в левой части не превосходит единицы. Поэтому неравенство будет верно как в случае $%|x-y|\ge|x-z|$%, так и в случае $%|y-z|\ge|x-z|$%: одно слагаемое в левой части сравниваем с последним слагаемым в правой части, а другое с единицей. Осталось рассмотреть случай, когда $%|x-y| < |x-z|$% и $%|y-z| < |x-z|$%. Рассмотрим на числовой прямой точки $%x$% и $%z$%. Если точка $%y$% не лежит между $%x$% и $%z$%, то расстояние от неё до наиболее удалённой из точек $%x$%, $%z$% больше, чем расстояние между $%x$% и $%z$%. Это значит, что одно из наших неравенство нарушается. Таким образом, можно считать, что $%|x-y|+|y-z|=|x-z|$%. Положим для краткости $%a=\frac1{2^{|x-y|}}$% и $%b=\frac1{2^{|y-z|}}$%. Тогда наше неравенство приобретает вид $%a+b\le1+ab$%, что равносильно $%(1-a)(1-b)\ge0$%. Это верно, поскольку $%a\le1$% и $%b\le1$%. отвечен 19 Янв '16 19:46 falcao falcao, не понятен абзац со слов "Таким образом, можно считать,". Откуда мы взяли, что "можно считать, что |x−y|+|y−z|=|x−z|." Поясните, пожалуйста.
(19 Янв '16 21:21)
laser22
|