1
1

На неприводимые вещественные множители: (х+1)^n + x^n

задан 21 Янв '16 15:09

10|600 символов нужно символов осталось
1

Для разложения на множители достаточно найти все комплексные корни многочлена. При чётном $%n$% действительных корней нет, и все корни разбиваются на пары комплексно-сопряжённых вида $%a\pm bi$%. Тогда группируем множители $%(x-(a+bi))(x-(a-bi))=x^2-2ax+a^2+b^2$%, получая неприводимые многочлены над $%\mathbb R$%. При нечётном $%n$% есть один вещественный корень $%x=-\frac12$% и соответствующий ему линейный множитель. Всё остальное группируем попарно, как и выше.

Ясно, что $%x\ne0$%, и тогда после деления на $%x^n$% получается $%(1+\frac1x)^n=-1$%. Извлекая корень $%n$%-й степени, имеем $%1+\frac1x=\cos\phi+i\sin\phi$%, где $%\phi=\frac{(2k+1)\pi}n$% при $%k=0,1,...,n-1$%. Тогда $%\frac1x=-(1-\cos\phi)+i\sin\phi=2\sin\frac{\phi}2(-\sin\frac\phi2+i\cos\frac{\phi}2)$%. Переходя к обратному, получаем $%x=-\frac1{2\sin\frac{\phi}2}(\sin\frac\phi2+i\cos\frac{\phi}2)$%.

При чётном $%n$% после группировки множителей для сопряжённых корней вида $%x_1=-\frac1{2\sin\frac{\phi}2}(\sin\frac\phi2+i\cos\frac{\phi}2)$% и $%x_2=-\frac1{2\sin\frac{\phi}2}(\sin\frac\phi2-i\cos\frac{\phi}2)$%, окажется, что $%x_1+x_2=-1$% и $%x_1x_2=\frac1{4\sin^2\frac{\phi}2}=\frac1{2(1-\cos\phi)}$%. С учётом старшего коэффициента, получается разложение $$(x+1)^n+x^n=2\prod\limits_{k=1}^{n/2}\left(x^2+x+\frac1{2(1-\cos\frac{(2k-1)\pi}n)}\right).$$

При нечётном $%n$%, с учётом действительного корня после аналогичной группировки получим $$(x+1)^n+x^n=2(x+\frac12)\prod\limits_{k=1}^{(n-1)/2}\left(x^2+x+\frac1{2(1-\cos\frac{(2k-1)\pi}n)}\right).$$

Свободные члены неприводимых сомножителей можно при желании выразить через котангенсы вместо косинусов.

ссылка

отвечен 21 Янв '16 22:13

10|600 символов нужно символов осталось
0

Замена $%x=1/t$%, упрощаем, делаем сдвиг переменной, дальше используем круговые многочлены (гуглим), выражаем тривиально через них, все.

upd: ага, я про круговые многочлены опять ерунду написал - у меня получается разложение только на рациональные множители.

ссылка

отвечен 21 Янв '16 21:12

изменен 22 Янв '16 8:55

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,724
×432
×35

задан
21 Янв '16 15:09

показан
16033 раза

обновлен
22 Янв '16 8:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru