алгебра - Разложить многочлен

Для разложения на множители достаточно найти все комплексные корни многочлена. При чётном $%n$% действительных корней нет, и все корни разбиваются на пары комплексно-сопряжённых вида $%a\pm bi$%. Тогда группируем множители $%(x-(a+bi))(x-(a-bi))=x^2-2ax+a^2+b^2$%, получая неприводимые многочлены над $%\mathbb R$%. При нечётном $%n$% есть один вещественный корень $%x=-\frac12$% и соответствующий ему линейный множитель. Всё остальное группируем попарно, как и выше.

Ясно, что $%x\ne0$%, и тогда после деления на $%x^n$% получается $%(1+\frac1x)^n=-1$%. Извлекая корень $%n$%-й степени, имеем $%1+\frac1x=\cos\phi+i\sin\phi$%, где $%\phi=\frac{(2k+1)\pi}n$% при $%k=0,1,...,n-1$%. Тогда $%\frac1x=-(1-\cos\phi)+i\sin\phi=2\sin\frac{\phi}2(-\sin\frac\phi2+i\cos\frac{\phi}2)$%. Переходя к обратному, получаем $%x=-\frac1{2\sin\frac{\phi}2}(\sin\frac\phi2+i\cos\frac{\phi}2)$%.

При чётном $%n$% после группировки множителей для сопряжённых корней вида $%x_1=-\frac1{2\sin\frac{\phi}2}(\sin\frac\phi2+i\cos\frac{\phi}2)$% и $%x_2=-\frac1{2\sin\frac{\phi}2}(\sin\frac\phi2-i\cos\frac{\phi}2)$%, окажется, что $%x_1+x_2=-1$% и $%x_1x_2=\frac1{4\sin^2\frac{\phi}2}=\frac1{2(1-\cos\phi)}$%. С учётом старшего коэффициента, получается разложение $$(x+1)^n+x^n=2\prod\limits_{k=1}^{n/2}\left(x^2+x+\frac1{2(1-\cos\frac{(2k-1)\pi}n)}\right).$$

При нечётном $%n$%, с учётом действительного корня после аналогичной группировки получим $$(x+1)^n+x^n=2(x+\frac12)\prod\limits_{k=1}^{(n-1)/2}\left(x^2+x+\frac1{2(1-\cos\frac{(2k-1)\pi}n)}\right).$$

Свободные члены неприводимых сомножителей можно при желании выразить через котангенсы вместо косинусов.