|
Последовательность $%(a_n)$% определяется такими условиями: $%a_1=1, a_2=2, a_{n+2}=(n-1)(a_n+a_{n+1})$% для каждого натурального $%n$%. На сколько нулей оканчивается число $%a_{2011}$%? задан 21 Янв '16 15:28 
Роман83 |
|
Рассмотрим эту последовательность по модулю 5. Прямая проверка показывает, что она периодична с периодом 10, начиная со второго члена: 2,0,2,4,3,3,0,3,1,2;2,0,... . Далее всё периодически повторяется, так как и два подряд идущих члена повторились, и остаток от деления номера $%n$% на 5. Отсюда ясно, что $%a_{2011}$% сравнимо с $%a_{11}$%, то есть с $%2$% по модулю 5, и нулями не оканчивается. отвечен 21 Янв '16 21:30 
falcao @falcao: Извините, я сделал опечатку: Должно быть $%a_{n+2}=(n+1)(a_n+a_{n+1})$%. Я смотрел за остатками по модулю 5, там все числа, начиная с четвертого члена становятся кратными пяти, и $%a_{2011}$% заканчивается на нули.
(21 Янв '16 23:59)
Роман83
1
@Роман83: наверное, лучше оставить так. Я просто подумаю над исправленной версией вопроса и сделаю добавление. А то мне тоже как-то подозрительно просто показалось. P.S. Добавления можно не делать: при такой рекуррентной формуле по индукции доказывается, что $%a_n=n!$%. А задача о том, сколькими нулями оканчивается факториал числа, стандартна. Здесь будет [2011/5]+[2011/25]+[2011/125]+[2011/625]=402+80+16+3=501.
(22 Янв '16 1:48)
falcao
|