Последовательность $%(a_n)$% определяется такими условиями: $%a_1=1, a_2=2, a_{n+2}=(n-1)(a_n+a_{n+1})$% для каждого натурального $%n$%. На сколько нулей оканчивается число $%a_{2011}$%?

задан 21 Янв '16 15:28

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим эту последовательность по модулю 5. Прямая проверка показывает, что она периодична с периодом 10, начиная со второго члена: 2,0,2,4,3,3,0,3,1,2;2,0,... . Далее всё периодически повторяется, так как и два подряд идущих члена повторились, и остаток от деления номера $%n$% на 5.

Отсюда ясно, что $%a_{2011}$% сравнимо с $%a_{11}$%, то есть с $%2$% по модулю 5, и нулями не оканчивается.

ссылка

отвечен 21 Янв '16 21:30

@falcao: Извините, я сделал опечатку: Должно быть $%a_{n+2}=(n+1)(a_n+a_{n+1})$%. Я смотрел за остатками по модулю 5, там все числа, начиная с четвертого члена становятся кратными пяти, и $%a_{2011}$% заканчивается на нули.

(21 Янв '16 23:59) Роман83

@falcao: Задать новый вопрос или этот отредактировать?

(22 Янв '16 0:29) Роман83
1

@Роман83: наверное, лучше оставить так. Я просто подумаю над исправленной версией вопроса и сделаю добавление. А то мне тоже как-то подозрительно просто показалось.

P.S. Добавления можно не делать: при такой рекуррентной формуле по индукции доказывается, что $%a_n=n!$%. А задача о том, сколькими нулями оканчивается факториал числа, стандартна. Здесь будет [2011/5]+[2011/25]+[2011/125]+[2011/625]=402+80+16+3=501.

(22 Янв '16 1:48) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×287

задан
21 Янв '16 15:28

показан
422 раза

обновлен
22 Янв '16 1:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru