Привести пример эпиморфизма ассоциативных колец с 1, который не индуцирует эпиморфизм их групп обратимых элементов.

задан 23 Янв '16 3:10

изменен 23 Янв '16 3:11

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%R$%, $%S$% -- кольца с единицей, и $%\phi\colon R\to S$% -- сюръективный гомоморфизм колец с единицей, то есть единица кольца $%R$% переходит в единицу кольца $%S$%. Если $%a$% -- обратимый элемент кольца $%R$%, и при этом $%ab=ba=1_R$%, то после действия гомоморфизмом получается $%\phi(a)\phi(b)=\phi(b)\phi(a)=1_S$%, то есть $%\phi(a)$% обратим в $%S$%. Это значит, что обратимые элементы первого кольца переходят в обратимые элементы второго. Чтобы построить пример, надо взять кольцо, в котором обратимых элементов мало, и отобразить его на кольцо, где обратимых элементов много.

С этой целью рассмотрим кольцо многочленов $%R=\mathbb Z[x]$%. Легко видеть, что группа обратимых элементов этого кольца равна $%\{1;-1\}$%. Сопоставим каждому такому многочлену его значение в точке $%\frac12$%. Очевидно, что при этом получится гомоморфизм в $%\mathbb Q$%, образом которого является кольцо $%S=\mathbb Z[\frac12]$%, состоящее из всех рациональных чисел вида $%m/2^n$%, где $%m$% и $%n$% целые. В таком кольце все элементы вида $%\pm 2^n$% будут обратимыми, поэтому для групп обратимых элементов колец эпиморфизма не будет.

ссылка

отвечен 23 Янв '16 10:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,150
×866
×234

задан
23 Янв '16 3:10

показан
515 раз

обновлен
23 Янв '16 10:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru