алгебра - Привести пример эпиморфизма

Пусть $%R$%, $%S$% -- кольца с единицей, и $%\phi\colon R\to S$% -- сюръективный гомоморфизм колец с единицей, то есть единица кольца $%R$% переходит в единицу кольца $%S$%. Если $%a$% -- обратимый элемент кольца $%R$%, и при этом $%ab=ba=1_R$%, то после действия гомоморфизмом получается $%\phi(a)\phi(b)=\phi(b)\phi(a)=1_S$%, то есть $%\phi(a)$% обратим в $%S$%. Это значит, что обратимые элементы первого кольца переходят в обратимые элементы второго. Чтобы построить пример, надо взять кольцо, в котором обратимых элементов мало, и отобразить его на кольцо, где обратимых элементов много.

С этой целью рассмотрим кольцо многочленов $%R=\mathbb Z[x]$%. Легко видеть, что группа обратимых элементов этого кольца равна $%\{1;-1\}$%. Сопоставим каждому такому многочлену его значение в точке $%\frac12$%. Очевидно, что при этом получится гомоморфизм в $%\mathbb Q$%, образом которого является кольцо $%S=\mathbb Z[\frac12]$%, состоящее из всех рациональных чисел вида $%m/2^n$%, где $%m$% и $%n$% целые. В таком кольце все элементы вида $%\pm 2^n$% будут обратимыми, поэтому для групп обратимых элементов колец эпиморфизма не будет.