|
Достаточно высокая цилиндрическая бочка с диаметром основания 2 до краев заполнена водой В нее погрузили куб с ребром 4 так что одна из главных диагоналей куба лежит на оси цилиндра. Найдите обьем вытесненной воды. задан 24 Янв '16 9:32 
ander |
|
Рассмотрим сечение куба плоскостью поверхности воды. Оно перепендикулярно главной диагонали куба. Из соображений симметрии очевидно, что сечением является правильный треугольник, причём он вписан в окружность радиусом 1. Длина стороны такого треугольника равна $%\sqrt3$%. Теперь рассмотрим поверхность куба, и нарисуем на трёх её гранях, сходящихся в вершине $%A$%, отрезки, который вместе дают правильный треугольник. Для этого надо на рёбрах, выходящих из $%A$%, отметить точки $%P$%, $%Q$%, $%R$% такие, что $%AP=AQ=AR=\sqrt{3/2}$%: тогда получится, что $%PQ=QR=RP=\sqrt3$%. Объём вытесненной воды будет равен объёму погружённой в воду части тела (закон Архимеда). А это объём тетраэдра $%APQR$%. Рассмотрим его грань $%APQ$% в качестве основания. Её площадь равна $%S=\frac12\cdot AP\cdot AQ=\frac34$%. Объём же равен $%V=\frac13Sh$%, где $%h=AR$%. Отсюда $%V=\frac14\sqrt{\frac32}=\frac{\sqrt6}8$%. Можно заметить, что длина ребра погружаемого куба здесь роли не играет: она просто должна быть достаточно большой, чтобы куб не погрузился в воду целиком. отвечен 24 Янв '16 12:16 
falcao |