|
Помогите доказать делимость с использованием метода математической индукции. задан 7 Окт '12 19:03 
Женя |
|
Пусть $%P(n)=3^{2n}+2^{6n-5}.$% 1) $%P(1)=3^{2\cdot1}+2^{6\cdot1-5}=9+2=11\vdots 11.$% 2) Предположим, что $%P(n)=3^{2n}+2^{6n-5}\vdots 11.$% 3) $%P(n+1)=3^{2(n+1)}+2^{6(n+1)-5}=3^2\cdot3^{2n}+2^6\cdot2^{6n-5}=9\cdot P(n)+55\cdot2^{6n-5}.$% Второе слагаемое делится на $%11$%, первое тоже ( по предположению п. 2)), значит при любом $%n$% выражение $%P(n)=3^{2n}+2^{6n-5}$% делится на $%11$%. отвечен 7 Окт '12 19:39 
Anatoliy |
|
$$3^{2n}+2^{6n-5}=9\times9^{n-1}+2\times64^{n-1}$$ $$64=9(mod 11)\Rightarrow9^{n-1}=64^{n-1}(mod 11)\Rightarrow$$ $$9\times9^{n-1}+2\times64^{n-1}=9\times9^{n-1}+2\times9^{n-1}(mod 11)\Rightarrow$$ $$9\times9^{n-1}+2\times64^{n-1}=11\times9^{n-1}(mod 11)\Rightarrow$$ $$9\times9^{n-1}+2\times64^{n-1}=0(mod 11)\Rightarrow9\times9^{n-1}+2\times64^{n-1}\vdots11$$ отвечен 7 Окт '12 19:26 
chameleon |