Жители Тридесятого Царства - заядлые волейболисты. Для обозначения силы игрока в Царстве была введена система рейтингов, основанная на системе рейтингов Эло: каждому $%i$%-му игроку ($%i=1,2,...,n$%) соответствует рейтинг $%R_i$% - вещественное число, являющееся относительной мерой силы игрока. Вероятность того, что игрок $%A$% победит в матче против игрока $%B$%, равняется $$P_A=\frac{1}{1+e^{R_B-R_A}} \space \space \space \space \space \space (1)$$ На протяжении всех веков матч состоял из одной игры (сета), но произошла Великая Волейбольная Революция, после которой все стали играть матчи из двух/трех сетов (до двух побед). В связи с этим, формула (1) стала отражать вероятность победы не в матче, а только в сете.
Помогите жителям Тридесятого Царства пересчитать рейтинги таким образом, чтобы формула (1) опять показывала вероятность победы в матче, при чем рейтинг царя ($%R_1$%) должен остаться прежним, ибо не положено царю рейтинг менять.
Примечание: при применении рейтинга Эло в шахматах, величина $%P_A$% является не просто вероятностью выигрыша, а мат-ожиданием набранных очков (вероятность выигрыша плюс половина вероятности ничьи). В этой же задаче, количество набранных очков никак не учитывается. Важно только одно: выиграл игрок или проиграл. Ничьи невозможны.

задан 7 Окт '12 21:34

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть новые рейтинги-$%R^'_A$% Имеем $%\forall A,B \frac{1}{1+e^{R^'_A-R^'_B}}=\frac{2e^{R_A-R_B}}{(1+e^{R_A-R_B})^3}+\frac{1}{(1+e^{R_A-R_B})^2}=\frac{1+3e^{R_A-R_B}}{(1+e^{R_A-R_B})^3}<=>R^'_A-R^'_B=\ln(\frac{(1+e^{R_A-R_B})^3}{1+3e^{R_A-R_B}}-1)$% Аргумент логарифма определен, так как $%e^{R_A-R_B}>0.$% Тогда пусть $%R^'_A=R_1+\ln(\frac{(1+e^{R_A-R_1})^3}{1+3e^{R_A-R_1}}-1)$%. Тогда $%R^'_A-R^'_B=\ln(\frac{(1+e^{R_A-R_1})^3}{1+3e^{R_A-R_1}}-1)-\ln(\frac{(1+e^{R_B-R_1})^3}{1+3e^{R_B-R_1}}-1)=\ln(\frac{(3e^{2R_A-2R_1}+e^{3R_A-3R_1})(1+3e^{R_B-R_1})}{(3e^{2R_B-2R_1}+e^{3R_B-3R_1})(1+3e^{R_A-R_1})})=$%$%\ln\frac{3e^{2R_A-2R_1}+e^{3R_A-3R_1}+9e^{2R_A-3R_1+R_B}+3e^{3R_A-4R_1+R_B}}{3e^{2R_B-2R_1}+e^{3R_B-3R_1}+9e^{2R_B+R_A-3R_1}+3e^{3R_B-4R_1+R_A}}=2R_A-2R_1-2R_B+2R_1+$%$%+\ln\frac{3+e^{R_A-R_1}+9e^{R_B-R_1}+3e^{R_A+R_B-R_1}}{3+e^{R_B-R_1}+9e^{R_A-R_1}+3e^{R_B+R_A-R_1}}=2R_A-2R_B+\ln\frac{3e^{R_1}+e^{R_A}+9e^{R_B}+3e^{R_A+R_B}}{3e^{R_1}+e^{R_B}+9e^{R_A}+3e^{R_A+R_B}}$%, что должно быть равно$%2R_A-2R_B+\ln\frac{3+e^{R_A-R_B}}{1+3e^{R_A-R_B}}=$%$%\ln\frac{3e^{2R_A-2R_B}+e^{3R_A-3R_B}}{1+3e^{R_A-R_B}}=\ln(\frac{(1+e^{R_A-R_B})^3}{1+3e^{R_A-R_B}}-1)$% Значит, $%\frac{3e^{R_1}+e^{R_A}+9e^{R_B}+3e^{R_A+R_B}}{3e^{R_1}+e^{R_B}+9e^{R_A}+3e^{R_A+R_B}}=\frac{3+e^{R_A-R_B}}{1+3e^{R_A-R_B}}<=>3e^{R_1}+e^{R_A}+9e^{R_B}+3e^{R_A+R_B}+9e^{R_A-R_B+R_1}+$%$%+3e^{2R_A-R_B}+27e^{R_A}+9e^{2R_A}=9e^{R_1}+3e^{R_B}+27e^{R_A}+9e^{R_A+R_B}+3e^{R_A-R_B+R_1}+e^{R_A}+$%$%+9e^{2R_A-R_B}+3e^{2R_A}<=>e^{R_1}(e^{R_A-R_B}+e^{R_1}-6)=e^{R_B}(e^{2R_A-2R_B}+e^{R_A}-6)$% Увеличим $%R_A$% на $%\ln\epsilon$%. Правая часть увеличится на $%e^{R_1}\epsilon$%, а левая на $%e^{R_B}(\epsilon^2+\epsilon)$% Значит, пересчет рейтингов возможен только, если всего есть 2 игрока.

ссылка

отвечен 7 Окт '12 22:03

изменен 8 Окт '12 15:10

Почти верно. Не учтено, что счет 2:1 в матче может получиться двумя способами. И хорошо бы проверить, удовлетворяет ли данная система рейтингов условию для любой пары $%A,B$%, а не только для $%A,1$%.

(7 Окт '12 22:43) chameleon

Исправил в ответе

(7 Окт '12 23:11) dmg3

Странно... А по моим расчетам, последнее равенство не выполняется, т.е. такой пересчет рейтингов в принципе не возможен. Кто из нас ошибся?

(7 Окт '12 23:32) chameleon

Я( $%$%$%$%

(8 Окт '12 15:11) dmg3
1

Великолепно Вы написали 10 символов в сообщении :D
Если б не был подписан по почте, то и не заметил бы ))

(8 Окт '12 17:31) chameleon
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,040

задан
7 Окт '12 21:34

показан
499 раз

обновлен
8 Окт '12 17:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru