теория-вероятностей - Слияние рейтингов

Пусть новые рейтинги-$%R^'_A$% Имеем $%\forall A,B \frac{1}{1+e^{R^'_A-R^'_B}}=\frac{2e^{R_A-R_B}}{(1+e^{R_A-R_B})^3}+\frac{1}{(1+e^{R_A-R_B})^2}=\frac{1+3e^{R_A-R_B}}{(1+e^{R_A-R_B})^3}<=>R^'_A-R^'_B=\ln(\frac{(1+e^{R_A-R_B})^3}{1+3e^{R_A-R_B}}-1)$% Аргумент логарифма определен, так как $%e^{R_A-R_B}>0.$% Тогда пусть $%R^'_A=R_1+\ln(\frac{(1+e^{R_A-R_1})^3}{1+3e^{R_A-R_1}}-1)$%. Тогда $%R^'_A-R^'_B=\ln(\frac{(1+e^{R_A-R_1})^3}{1+3e^{R_A-R_1}}-1)-\ln(\frac{(1+e^{R_B-R_1})^3}{1+3e^{R_B-R_1}}-1)=\ln(\frac{(3e^{2R_A-2R_1}+e^{3R_A-3R_1})(1+3e^{R_B-R_1})}{(3e^{2R_B-2R_1}+e^{3R_B-3R_1})(1+3e^{R_A-R_1})})=$%$%\ln\frac{3e^{2R_A-2R_1}+e^{3R_A-3R_1}+9e^{2R_A-3R_1+R_B}+3e^{3R_A-4R_1+R_B}}{3e^{2R_B-2R_1}+e^{3R_B-3R_1}+9e^{2R_B+R_A-3R_1}+3e^{3R_B-4R_1+R_A}}=2R_A-2R_1-2R_B+2R_1+$%$%+\ln\frac{3+e^{R_A-R_1}+9e^{R_B-R_1}+3e^{R_A+R_B-R_1}}{3+e^{R_B-R_1}+9e^{R_A-R_1}+3e^{R_B+R_A-R_1}}=2R_A-2R_B+\ln\frac{3e^{R_1}+e^{R_A}+9e^{R_B}+3e^{R_A+R_B}}{3e^{R_1}+e^{R_B}+9e^{R_A}+3e^{R_A+R_B}}$%, что должно быть равно$%2R_A-2R_B+\ln\frac{3+e^{R_A-R_B}}{1+3e^{R_A-R_B}}=$%$%\ln\frac{3e^{2R_A-2R_B}+e^{3R_A-3R_B}}{1+3e^{R_A-R_B}}=\ln(\frac{(1+e^{R_A-R_B})^3}{1+3e^{R_A-R_B}}-1)$% Значит, $%\frac{3e^{R_1}+e^{R_A}+9e^{R_B}+3e^{R_A+R_B}}{3e^{R_1}+e^{R_B}+9e^{R_A}+3e^{R_A+R_B}}=\frac{3+e^{R_A-R_B}}{1+3e^{R_A-R_B}}<=>3e^{R_1}+e^{R_A}+9e^{R_B}+3e^{R_A+R_B}+9e^{R_A-R_B+R_1}+$%$%+3e^{2R_A-R_B}+27e^{R_A}+9e^{2R_A}=9e^{R_1}+3e^{R_B}+27e^{R_A}+9e^{R_A+R_B}+3e^{R_A-R_B+R_1}+e^{R_A}+$%$%+9e^{2R_A-R_B}+3e^{2R_A}<=>e^{R_1}(e^{R_A-R_B}+e^{R_1}-6)=e^{R_B}(e^{2R_A-2R_B}+e^{R_A}-6)$% Увеличим $%R_A$% на $%\ln\epsilon$%. Правая часть увеличится на $%e^{R_1}\epsilon$%, а левая на $%e^{R_B}(\epsilon^2+\epsilon)$% Значит, пересчет рейтингов возможен только, если всего есть 2 игрока.