Изоморфны ли алгебры $%\mathbb C[x, y]/(x^n - y)$% и $%\mathbb C[x, y]/(x-y^m)$%, $%\mathbb C[x, y]/(x^2 - y^2)$% и $%\mathbb C[x, y]/((x-y)^2)$%? Помогите, пожалуйста, решить.

задан 26 Янв '16 22:02

изменен 26 Янв '16 22:21

falcao's gravatar image


238k3446

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) В первом случае получаются изоморфные алгебры при любых значениях $%m$% и $%n$%. Факторизуя по идеалу, порождённому $%x^n-y$%, мы фактически принимаем равенство $%y=x^n$%, которое должно будет выполняться в факторкольце. Это значит, что все многочлены становятся многочленами от $%x$%, и факторкольцо изоморфно $%\mathbb C[x]$%. Формально мы строим эпиморфизм $%\mathbb C[x,y]\to\mathbb C[x]$% по правилу $%x\mapsto x$%; $%y\mapsto x^n$%, и проверяем, что его ядро совпадает с главным идеалом, порождённым $%x^n-y$%. Это следует из теоремы Безу. Далее применяется теорема о гомоморфизмах колец.

Аналогично, второе кольцо изоморфно $%\mathbb C[y]$%, а это то же самое.

2) Можно ввести линейную замену $%u=x+y$%, $%v=x-y$%. Она задаёт автоморфизм кольца многочленов от двух переменных, так как любой многочлен от $%u$%, $%v$% переписывается в виде многочлена от $%x$%, $%y$%, и обратно. После таких замен получаются факторкольца $%\mathbb C[u,v]/(uv)$% и $%\mathbb C[u,v]/(v^2)$%. Докажем, что они не изоморфны.

Во втором кольце есть ненулевой элемент $%v$%, квадрат которого равен нулю. Строение факторалгебры здесь простое: исчезают все одночлены, в которые $%v$% входит в степени 2 и более, и получается алгебра с базисом $%1$%, $%u$%, $%u^2$%, ... , $%u^k$%, ... ; $%v$%, $%uv$%, $%u^2v$%, ... , $%u^kv$%, ... . Понятно, что $%v\ne0$% в факторалгебре, но $%v^2=0$%. Проверим, что в первой алгебре нет элемента с таким свойством.

Доказывать надо то, что никакой элемент, отличный от нуля, в квадрате не равен нулю (это касается не только $%v$%, так как при гипотетическом изоморфизме этот элемент второй алгебры мог перейти в какой угодно элемент первой алгебры).

Прежде всего, уточним строение факторалгебры. У нас пропали все одночлены, содержащие $%uv$%, и остался базис из элементов $%1$%, $%u$%, $%u^2$%, ... , $%u^k$%, ... ; $%v$%, $%v^2$%, ... , $%v^k$%, ... . Проверке подлежит то, что квадрат любого ненулевого многочлена останется ненулевым. Если свободный член равен $%a\ne0$%, то у квадрата он станет равен $%a^2\ne0$%, и здесь всё ясно. Если же свободный член равен нулю, то элемент алгебры имеет вид $%a_1u+\cdots+a_mu^m+b_1v+\cdots+b_nv^n$%, где не все коэффициенты нулевые. При возведении в квадрат каждое слагаемое умножается на каждое. С учётом того, что $%uv=0$%, результат будет равен $%a_1^2u^2+\cdots+a_m^2u^{2m}+b_1^2v^2+\cdots+b_n^2v^{2n}$%, и ненулевых коэффициентов останется столько же, сколько их было.

ссылка

отвечен 27 Янв '16 4:38

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,177
×869
×386

задан
26 Янв '16 22:02

показан
451 раз

обновлен
27 Янв '16 4:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru