Порядок группы G=p^n.Помогите пожалуйста решить.Возможно, здесь как-то поможет теорема Силова?

задан 26 Янв '16 23:16

изменен 26 Янв '16 23:19

10|600 символов нужно символов осталось
2

В условии пропущено то обстоятельство, что группа здесь должна быть абелевой. Для $%p=2$% такая оговорка не нужна, а для нечётного простого $%p$% она обязательна, так как примеров неабелевых групп показателя $%p > 2$% (а потому не изоморфных прямой сумме циклических) имеется очень много. Самый простой -- группа унитреугольных матриц 3x3 над полем из трёх элементов.

Теоремы Силова тут совсем не нужны. Это факт из линейной алгебры. Во-первых, $%p$% является простым: хотя в условии об этом прямо не сказано, но само условие из него следует. Если бы был элемент составного порядка, то некоторая его степень имела бы меньший порядок, будучи неединичной.

Удобно использовать аддитивную запись, в которой условие примет вид $%px=0$% для всех $%x\in G$%. Отсюда следует, что $%G$% является векторным пространством над полем $%\mathbb Z_p$%. (Здесь как раз важна коммутативность группы, чтобы выполнялись аксиомы линейного пространства.) Группа конечна, поэтому размерность пространства конечна. Если она равна $%m$%, то строим базис из $%m$% элементов, и из единственности разложения элементов по базису получаем, что в группе $%p^m$% элементов, то есть $%m=n$%.

Изоморфизм на $%\mathbb Z_p^n$% строится стандартно: каждому элементу сопоставляем вектор координат в фиксированном базисе. Это даёт биекцию, которая сумму переводит в сумму. То есть это искомый изоморфизм.

ссылка

отвечен 26 Янв '16 23:36

по условию p простое, мое упущение

(27 Янв '16 21:06) Твалард

@Твалард: оговорка насчёт простоты числа не так важна, поскольку она выводится из условия. Кроме того, выражение "p-группа" в ином контексте не используется. Здесь принципиально то, что G должна быть абелевой. Если это ограничение не добавить, то утверждение становится неверным, о чём я сказал в решении.

(27 Янв '16 21:14) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,071
×655
×183

задан
26 Янв '16 23:16

показан
469 раз

обновлен
27 Янв '16 21:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru