Помогите, пожалуйста, решить задачу:

Выразите квадратный корень из простого числа p как линейную комбинацию комплексных корней p-той степени из 1 с рациональными коэффициентами.

Довольно похоже на теорему Гаусса о построимости циркулем и линейкой правильного многоугольника, но доказательство не получается.

Также я нашёл в вопросе Cyclic cubic numbers as rational linear combinations of roots of unity ссылку на статью Arithmetic and some of its aspirations, где внизу восьмой страницы приведена формула, но я не могу понять смысл сказанного на английском.

задан 7 Окт '12 22:23

изменен 8 Окт '12 15:24

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Вторая ссылка не открывается. А можно вставить текст прямо в вопрос?

(7 Окт '12 23:41) DocentI

Запятая добавилась к ссылке, поэтому и не открывается. http://www.math.harvard.edu/~mazur/papers/friends.pdf

(7 Окт '12 23:45) chameleon
10|600 символов нужно символов осталось
9

Пусть $%\omega=e^{2\pi i/p}$% -- первообразный корень степени $%p$% из единицы. Можно составить следующую сумму Гаусса: $$y=\sum\limits_{k=1}^{p-1}\left(\frac{k}{p}\right)\omega^{k},$$ где "двухэтажное" выражение означает символ Лежандра числа $%k$% по простому модулю $%p$%. Если $%k$% не делится на $%p$%, то он определяется как число $%1$% или $%-1$%, в зависимости от того, имеет ли решения сравнение $%x^2\equiv k\pmod p$%.

Из свойств символов Лежандра чисто арифметическими вычислениями можно вывести равенство $$y^2=p(-1)^{\frac{p-1}2}$$ (если нужно, я могу воспроизвести этот вывод). Тем самым $%y$% являет собой квадратный корень из $%p$% или $%-p$%, откуда $%\sqrt{p}$% представляется в нужном виде.

ссылка

отвечен 20 Фев '13 20:14

изменен 24 Фев '13 3:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×371

задан
7 Окт '12 22:23

показан
1111 раз

обновлен
24 Фев '13 3:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru