|
Помогите, пожалуйста, решить задачу: Выразите квадратный корень из простого числа p как линейную комбинацию комплексных корней p-той степени из 1 с рациональными коэффициентами. Довольно похоже на теорему Гаусса о построимости циркулем и линейкой правильного многоугольника, но доказательство не получается. Также я нашёл в вопросе Cyclic cubic numbers as rational linear combinations of roots of unity ссылку на статью Arithmetic and some of its aspirations, где внизу восьмой страницы приведена формула, но я не могу понять смысл сказанного на английском. задан 7 Окт '12 22:23 
Alex Vasiliev |
|
Пусть $%\omega=e^{2\pi i/p}$% -- первообразный корень степени $%p$% из единицы. Можно составить следующую сумму Гаусса: $$y=\sum\limits_{k=1}^{p-1}\left(\frac{k}{p}\right)\omega^{k},$$ где "двухэтажное" выражение означает символ Лежандра числа $%k$% по простому модулю $%p$%. Если $%k$% не делится на $%p$%, то он определяется как число $%1$% или $%-1$%, в зависимости от того, имеет ли решения сравнение $%x^2\equiv k\pmod p$%. Из свойств символов Лежандра чисто арифметическими вычислениями можно вывести равенство $$y^2=p(-1)^{\frac{p-1}2}$$ (если нужно, я могу воспроизвести этот вывод). Тем самым $%y$% являет собой квадратный корень из $%p$% или $%-p$%, откуда $%\sqrt{p}$% представляется в нужном виде. отвечен 20 Фев '13 20:14 
falcao |
Вторая ссылка не открывается. А можно вставить текст прямо в вопрос?
Запятая добавилась к ссылке, поэтому и не открывается. http://www.math.harvard.edu/~mazur/papers/friends.pdf