Прошу помощи в решении задачи.

При каких целых $%a$% и $%b$% изоморфны факторкольца $% Z[x]/(x^2 - a) $% и $%Z[x]/(x^2 - b)$%.

задан 27 Янв '16 20:38

10|600 символов нужно символов осталось
0

Для начала одно общее замечание о том, как устроены все эти кольца. Два многочлена задают один и тот же элемент факторкольца $%\mathbb Z[x]/(x^2-a)$% тогда и только тогда, когда их разность делится на $%x^2-a$%. Поэтому элементы факторкольца можно отождествить с остатками от деления многочленов на $%x^2-a$%, и получатся элементы вида $%px+q$%, где $%p$% и $%q$% целые. Складываются они обычным образом, а перемножаются с учётом равенства $%x^2=a$%.

Для начала выделим случай $%a=0$%. Такое кольцо обладает нильпотентным элементом, который нулю не равен, но в квадрате даёт ноль. Проверим, что при $%a\ne0$% такое невозможно.

Если $%(px+q)^2=2pqx+p^2a+q=0$%, то $%pq=0$% и $%p^2a+q=0$%. С учётом $%a\ne0$% отсюда сразу следует $%p=q=0$%. Таким образом, факторкольцо $%\mathbb Z[x]/(x^2)$% "уникально": оно никакому другому из рассматриваемых колец не изоморфно.

Теперь рассмотрим случай, когда $%a$% является квадратом натурального числа $%n$%. Тогда $%x^2-a=(x-n)(x+n)$%, и факторкольцо изоморфно прямому произведению $%\mathbb Z[x]/(x-n)$% и $%\mathbb Z[x]/(x+n)$%. Оба сомножителя здесь изоморфны кольцу $%\mathbb Z$%, что проверяется стандартно. А именно, если кольцо имеет вид $%\mathbb Z[x]/(x-c)$%, то каждому многочлену сопоставляется его значение в точке $%c$%. Получается гомоморфизм на $%\mathbb Z$%. Его ядро совпадает с главным идеалом, порождённым $%x-c$%, что следует из теоремы Безу. Далее применяем теорему о гомоморфизмах.

Таким образом, при $%a\in\{1;4;9;16;...\}$% получается серия колец, изоморфных $%\mathbb Z\times\mathbb Z$%. Все они обладают делителями нуля.

Теперь отделим друг от друга случаи $%a > 0$% и $%a < 0$%. Если $%a > 0$%, и при этом $%a$% не является точным квадратом, мы получаем кольцо $%\mathbb Z[\sqrt{a}]$%, которое содержится в $%\mathbb R$% и потому упорядочиваемо. В таком кольце квадрат любого ненулевого элемента положителен. При $%a < 0$% такого не происходит, так как $%x^2=a < 0$% при любом возможном упорядочивании кольца.

Таким образом, надо по отдельности рассматривать факторкольца для $%a > 0$% и для $%a=-k$%, где $%k > 0$%. Во втором случае получится кольцо, изоморфное $%\mathbb Z[i\sqrt{k}]$%. Оно содержится в $%\mathbb C$%, и делителей нуля не имеет. То же для колец вида $%\mathbb Z[\sqrt{k}]$%, где $%k$% не есть точный квадрат.

Рассматривая одно из колец для указанных выше значений $%a$%, изучим вопрос о том, какие его элементы в квадрате оказываются целыми. Ясно, что $%(px+q)^2$% будет целым, когда коэффициент при $%x$% нулевой. При $%p=0$% получаются обычные точные квадраты. При $%p\ne0$%, $%q=0$% получаются числа вида $%p^2a$%. По условию, эти числа уже не являются точными квадратами, и набор их для разных значений $%a$% будет свой.

Скажем, кольцо $%\mathbb Z[2\sqrt2]$% (то есть для $%a=8$%) не будет изоморфно кольцу $%\mathbb Z[\sqrt2]$% (при $%a=2$%), так как во втором случае число $%2$% является квадратом в кольце, а в первом случае не является. Тем более это кольцо не будет изоморфно $%\mathbb Z[\sqrt5]$% или $%\mathbb Z[i\sqrt2]$%.

Таким образом, получено полное описание колец рассматриваемого вида с точностью до изоморфизма.

ссылка

отвечен 27 Янв '16 21:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,145
×234
×43
×43

задан
27 Янв '16 20:38

показан
961 раз

обновлен
27 Янв '16 21:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru