Найдите знак интеграла от -pi до pi ∫ cos2xcos3xcos4x...cos(2016x)dx.

задан 27 Янв '16 20:42

10|600 символов нужно символов осталось
1

Применим формулу $%\cos\alpha\cos\beta=\frac12(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))$% несколько раз. Прежде всего, $%\cos2x\cos3x=\frac12(\cos x+\cos 5x)$%. Заметим, что все множители при $%x$% получились нечётными.

В следующем произведении получится $%\cos2x\cos3x\cos4x=\frac12(\cos x\cos4x+\cos5x\cos4x)=\frac14(\cos x+\cos3x+\cos5x+\cos9x)$%. Здесь снова все множители нечётны.

Заметим, что все интегралы от функций вида $%\cos nx$% по отрезку длиной в период равны нулю при $%n\ge1$%. Следовательно, если множители нечётны, то интеграл равен нулю.

После домножения на $%\cos5x$% множители при $%x$% становятся чётными, и один из них равен нулю. В этом случае интеграл оказывается положительным, так как коэффициенты при косинусах положительны.

После домножения на $%\cos6x$% чётность множителей при $%x$% не поменяется. Можно заметить, что и здесь интеграл положителен (его значение легко подсчитывается). Далее чётность поменяется за счёт нечётности числа $%7$%, и множители станут нечётными. Потом они останутся нечётными из-за чётности числа $%8$%.

Из сказанного нетрудно понять, что чётность и нечётность коэффициентов при $%x$% меняется с периодом $%4$%. Поскольку $%2016$% делится на $%4$%, все коэффициенты при $%x$% нечётны, и все слагаемые-интегралы равны нулю. То есть интеграл получится нулевой.

ссылка

отвечен 28 Янв '16 3:17

изменен 26 Май '16 15:30

1

@falcao, там в первой строчке не сложение, а умножение между косинусами. Случайно заметить :)

(26 Май '16 12:46) garex

@marka_17: да, там опечатка. Исправляю.

(26 Май '16 15:29) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,590
×1,262
×911

задан
27 Янв '16 20:42

показан
468 раз

обновлен
26 Май '16 15:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru