Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, с данной задачей

Найти число эпиморфизмов свободных групп $% F_2$% ранга 2 на гр. $%\mathbb Z_{p^2}\oplus \mathbb Z_{p^2}$% и число нормальных подгрупп $%F_2$%, фактор-группы по которым изоморфны $%\mathbb Z_{p^2} \oplus \mathbb Z_{p^2}$%

задан 27 Янв '16 22:34

10|600 символов нужно символов осталось
2

Это вроде как повтор вопроса, состоявшего из двух частей? Данная часть довольно простая, и я её не стал записывать без первой части, где нужно было найти число разложений в прямую сумму, что технически намного сложнее. Это я пока не успел написать, хотя решение и ответ у меня есть.

Здесь и нормальная подгруппа одна, а число эпиморфизмов мы укажем ниже. Одно связано с другим, потому что эпиморфизм задаёт ядро, а ядро (нормальная подгруппа) задаёт эпиморфизм с точностью до автоморфизма группы в образе. Нужно обосновать, что в $%\mathbb F_2$% есть только одна нормальная подгруппа $%N$% со свойством $%\mathbb F_2/N\cong\mathbb Z_{p^2}\times\mathbb Z_{p^2}$%.

Факторгруппа у нас здесь абелева, и из этого следует, что ядру естественного гомоморфизма (то есть $%N$%) принадлежит любое значение коммутатора $%[X,Y]=X^{-1}Y^{-1}XY$%. Также любой элемент факторгруппы равен единице в степени $%p^2$%, и тогда ядру принадлежит любое из значений слова $%X^{p^2}$%.

Теперь рассмотрим в $%\mathbb F_2$% подгруппу, порождённую всеми значениями слов $%[X,Y]$% и $%X^{p^2}$%. Такие подгруппы называются вербальными. Мы берём все элементы вида $%[g,h]$% и $%g^{p^2}$%, где $%g,h\in\mathbb F_2$%, и порождаем ими подгруппу, беря всевозможные произведения элементов этого вида, а также им обратных (последнее в данном случае излишне, но это не важно).

Все вербальные подгруппы автоматически оказываются нормальными (по примеру коммутанта). Это следует из того, что сопряжение не меняет вид слова. А именно, $%[X,Y]^t=[X^t,Y^t]$%, и $%t^{-1}X^{p^2}t=(t^{-1}Xt)^{p^2}$%. Запись $%X^t$% здесь означает сопряжение: $%t^{-1}Xt$%.

Обозначим построенную выше нормальную подгруппу через $%V$%. Мы знаем, что $%V\le N$%. Из этого следует, что факторгруппа $%\mathbb F_2/N$% является гомоморфным образом факторгруппы $%\mathbb F_2/V$%. Нашей целью является доказательство равенства $%N=V$%, откуда будет следовать единственность эпиморфизма. Здесь важно то, что $%V$% задаётся инвариантно, и она всего одна.

Для проверки достаточно установить, что порядок группы $%\mathbb F_2/V$% не больше $%p^4$%, так как нам известно, что у её гомоморфного образа порядок равен $%p^4$%. Но это достаточно просто: любой элемент факторгруппы по $%V$% представим в виде $%a^sb^t$%, где $%a$% и $%b$% -- образы порождающих свободной группы. Это следует из того, что факторгруппа у нас абелева. Далее, в силу тождества $%X^{p^2}=1$%, выполненного в факторгруппе, можно считать, что $%0\le s,t < p^2$%, то есть всего в факторгруппе не больше $%p^4$% элементов, как и ожидалось.

Добавление. Мной не был учтён момент, касающийся автоморфизмов абелевой группы, на что обратил внимание @Tzara. Ядро в данном случае всегда одно, и оно не меняется при автоморфизмах свободной группы (именно этот момент как бы усыпил мою бдительность :)) Но при этом образующие свободной группы могут переходит не только в элементы (1,0) и (0,1), и даже не только менять их местами, а ещё и отображать в любую пару элементов, порождающих прямую сумму двух групп. Этот момент надо учесть.

Можно применить те соображения, которые использовались здесь. Там сказано, что для данной группы имеется $%p^4+p^3$% разложений в прямую сумму вида $%A\oplus B$%. При этом первый образующий свободной группы можно перевести в любой из $%p^2-p$% образующих слагаемого $%A$%, а второй -- в любой из $%p^2-p$% образующих слагаемого $%B$%. Тогда эпиморфизмов будет $%(p^4+p^3)(p^2-p)^2=p^5(p+1)(p-1)^2$%.

ссылка

отвечен 27 Янв '16 23:06

изменен 28 Янв '16 14:09

1

У различных эпиморфизмов может быть одно и тоже ядро.

Пусть $%f:\left \langle a,b|\varnothing \right \rangle \to \left \langle a,b|a^2,b^2 \right \rangle$%, тогда можно положить $%f(a) = a$%, $%f(b)=b$% или $%f(a) = b$%, $%f(b)=a.$%

(28 Янв '16 11:17) Sunbro

@Tzara: да, конечно, Вы правы. Я просмотрел этот момент. Сейчас откорректирую решение. Здесь была ещё вторая часть задачи о числе разложений в прямую сумму (она решена в другом месте), и при данном ядре надо учесть ещё автоморфизмы абелевой группы.

(28 Янв '16 13:52) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

В доказательстве любой элемент факторгруппы равен единице в степени $%p^2$%, потому что $%p^2$% - это НОК для $%p^2$% и $%p^2$%? И почему первый образующий свободной группы можно перевести в любой из $%p^2−p$% образующих слагаемого $%A$%, а второй -- в любой из $%p^2−p$% образующих слагаемого $%B$%?

ссылка

отвечен 25 Дек '17 3:44

изменен 25 Дек '17 4:02

@nikolay97531: я понимаю, что Вы имели в виду, но я бы так никогда не говорил. Вы указываете причину того, почему элемент группы Z(p^2)xZ(p^2) равен единице в степени p^2 (образ здесь изоморфен факторгруппе). На мой взгляд, причина не в том, что НОК(p^2,p^2)=p^2, что верно, но является тривиальностью, и ничего не объясняет. Причина в следствии из теоремы Лагранжа о подгруппах, а также в определении прямого произведения групп.

По второму факту: у циклической группы порядка p^2 есть ровно p^2-p образующих, а здесь мы по построению переводим образующие в образующие.

(25 Дек '17 4:13) falcao

Спасибо! А как найти число ядер эпиморфизмов?

(25 Дек '17 11:37) nikolay97531

@nikolay97531: так ведь в тексте вроде сказано, что ядро здесь всего одно.

(26 Дек '17 5:24) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,516
×1,018
×433
×241

задан
27 Янв '16 22:34

показан
1012 раз

обновлен
26 Дек '17 5:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru