Доказать, что группа $%SL_n(\mathbb{Z})$% конечно порождена.

задан 28 Янв '16 0:00

10|600 символов нужно символов осталось
2

Достаточно доказать, что конечно порождена группа $%GL_n(\mathbb Z)$%. Для неё рассуждение будет технически выглядеть чуть попроще. Тогда $%SL_n(\mathbb Z)$% будет конечно порождена как подгруппа конечного индекса (а именно, индекса 2: она является ядром гомоморфизма $%A\mapsto\det A$%). Если этот факт не считается известным, и на него не хочется ссылаться, то можно для случая индекса 2 предложить несложное "кустарное" рассуждение.

Докажем сначала, что всякая матрица из $%GL_n(\mathbb Z)$% может быть приведена к единичной при помощи серии целочисленных гауссовых преобразований. Они таковы: перестановка строк матрицы; смена знака чисел данной строки; прибавление к одной из строк другой строки. Легко заметить, что при этом можно будет также вычитать из одной строки другую (два раза сменив знаки), а также производить "кратную" операцию, то есть к строке прибавлять любое кратное другой строки.

Здесь фактически действует алгоритм Евклида. У чисел первого столбца НОД равен 1, так как определитель равен $%\pm1$%. Тогда из них при помощи операций указанного типа можно в какой-то из строк создать 1, что следует из этого классического алгоритма. Далее эту строку ставим в начало, и при помощи единицы в углу создаём нули во всех остальных строках в первом столбце. Это делается так же, как и при приведении матрицы к ступенчатому виду.

Теперь "заморозим" первую строку и первый столбец, и к матрице порядка $%n-1$% применим ту же процедуру по рекурсии. Это даст унитреугольную матрицу. Она далее легко превращается в единичную, где мы создаём нули в последнем столбце выше единицы, потом в предпоследнем, и так далее.

Каждому из элементарных преобразований соответствует умножение матрицы слева на одну из матриц простого типа, которая принадлежит $%GL_n(\mathbb Z)$%. Таких матриц конечное число. Перестановке $%i$%-й и $%j$%-й строки соответствует матрица, получаемая из единичной путём обнуления элементов (i,i), (j,j), и помещения единиц на места (i,j), (j,i). Смена знака в $%i$%-й строке -- это умножение слева на матрицу, получаемую из единичной заменой 1 на месте (i,i) на -1. Наконец, последнее преобразование соответствует умножению на $%E+e_{ij}$% при $%i\ne j$%, где $%e_{ij}$% есть матрица с единицей на месте (i,j) и остальными нулями.

Матриц, на которые мы умножаем, конечное число. Все они принадлежат $%GL_n(\mathbb Z)$%. После умножений мы получаем единичную матрицу из $%A$%. Это значит, что $%A$% равно произведению обратных матриц, взятых в обратном порядке. Они могут принимать конечное число значений, что означает конечную порождённость группы.

ссылка

отвечен 28 Янв '16 0:40

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,868
×1,174
×512
×254

задан
28 Янв '16 0:00

показан
811 раз

обновлен
28 Янв '16 0:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru