Помогите решить задачу: Доказать, что всякое бесконечное(как множество) ассоциативное кольцо с единицей, не являющееся телом, содержит бесконечное подмножество необратимых элементов Заранее спасибо!

задан 28 Янв '16 14:28

изменен 28 Янв '16 14:29

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%R$% -- данное кольцо. По условию, в нём имеется необратимый элемент $%a\ne0$%. Тогда все элементы вида $%ax$%, где $%x\in R$%, также необратимы. Если среди них имеется бесконечное число различных, то задача решена. В противном случае получается много совпадений вида $%ax=ay$% для разных $%x,y$%, откуда $%a(x-y)=0$%, и при этом $%x-y$% оказывается необратимым. Поэтому рассмотрим правый аннулятор элемента $%a$%, то есть множество $%\{x\in R\mid ax=0\}$%. Он состоит из необратимых элементов, и если он бесконечен, то всё доказано.

Если же он конечен, и множество необратимых элементов вида $%ax$% тоже конечно, то отсюда следует конечность кольца, что даёт противоречие. Действительно, положим $%x\sim y$%, если $%ax=ay$%. Это отношение эквивалентности на $%R$%. Классов эквивалентности конечное число, а в каждом классе элементов столько, сколько их в аннуляторе.

ссылка

отвечен 28 Янв '16 14:53

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,253
×883
×236

задан
28 Янв '16 14:28

показан
465 раз

обновлен
28 Янв '16 14:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru