дан равнобедренный треугольник abc (ab=bc) прямая перпендикулярная AB проходит через середину D стороны AB и пересекает сторону BC в точке E и продолжение стороны AC за точку C в точке F. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что DE=2, EF=1.

задан 28 Янв '16 22:36

изменен 29 Янв '16 18:06

falcao's gravatar image


238k3446

Какое интересное условие... ((((

(29 Янв '16 8:51) all_exist

@Denzila: условия решённых задач удалять нельзя! И это звучит не как благодарность, а как издевательство.

Надо вернуть условие на место. Напомню, что модераторы отправили в "бан" уже многих, кто таким образом поступает, удаляя условия задач.

(29 Янв '16 18:05) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Точка $%F$% лежит на серединном перпендикуляре к $%AB$%, поэтому треугольник $%FAB$% равнобедренный, и он подобен $%BAC$%, так как угол при основании (при вершине $%A$%) один и тот же. Положим $%AD=DB=a$%, и пусть $%\phi$% -- половина угла при вершине $%F$%, то есть $%\phi=\angle AFD=\angle BFD$%. Тогда из треугольника $%BFD$% получается $%\tan\phi=a/3$%, так как $%DF=DE+EF=3$%. Рассматривая прямоугольный треугольник $%BDE$%, в котором острый угол при вершине $%B$% равен $%2\phi$%, мы имеем $%\tan2\phi=2/a$%.

Применяя формулу тангенса двойного угла, имеем $%2/a=\tan2\phi=\frac{2\tan\phi}{1-\tan^2\phi}=\frac{2a/3}{1-a^2/9}$%. Отсюда $%a^2=9/4$%, то есть $%a=3/2$%. По теореме Пифагора, $%BF=\frac32\sqrt5$%. Следовательно, $%\sin\phi=\frac1{\sqrt5}$% и $%\cos\phi=\frac2{\sqrt5}$%.

Отсюда легко находятся основание и высота треугольника $%ABC$%. Получается, что $%AC=4a\sin\phi=\frac6{\sqrt5}$% и $%h=2a\cos\phi=\frac6{\sqrt5}$%. Тем самым, площадь равна $%\frac{18}5$%.

ссылка

отвечен 29 Янв '16 0:53

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,708
×670
×408
×19

задан
28 Янв '16 22:36

показан
1215 раз

обновлен
29 Янв '16 18:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru