Предложение 1. Пусть А и В некоторые группы с центральными подгруппами Н<=А и К <=В и изомофизмом φ: Н —> К. Пусть N множество всех элементов группы D = А х В вида h(hφ)^-1, где h € Н. Тогда

N- подгруппа, группы D;

A∩N= 1 иB∩N = 1;

HN = KN и AN ∩ BN = HN.

Обобщенным прямым произведением групп A и B с подгруппами H и K, объединенными в соответствии с изоморфизмом φ,называется фактор-группа Р прямого произведения D = А × В групп А и В по подгруппе N, определенной в предложение 1. По аналогии с обобщенным свободным произведением для обозначения обобщенного прямого произведения будем использовать запись Р= (А × В; Н = К, φ).

Предложение 2. Пусть Р= (А × В; Н = К, φ) ––обобщенное прямое произведение групп А и В с подгруппами Н и К, объединенными в соответствии с изоморфизмом φ (т. е. Р является фактор-группой группы D = А × В по подгруппе N = {h(h φ)-1|h ∊Н). Пусть ε-естественный гомоморфизм группы D на группу Р и Ā, B¯, H¯ и K¯ — образы подгрупп А, В, Н и К относительно ε. Тогда

(1) ε действует инъективно на подгруппах А и В и потому Ā ≃ А и , B¯≃ В;

(2) Р = AB¯ и Ā ∩ B¯ = H¯ = K¯.

Поскольку Ā = AN/N, B¯ = BN/N, H¯=HN/N и K¯ = КN/N, все утверждения предложения 2 являются непосредственными следствиями определения группы D и утверждений предложения 1.В самом деле, (?) (объясните,пожалуйста, почему так как?)

Пусть α:А → Р β: В → Р – гомоморфизмы групп А и В в группу Р, определяемые по правилам aα = aN и bβ = bN для любых a ∊А и b ∊ В. Отображение α инъективно, поскольку совпадает с произведением тождественного вложения группы A в группу D и гомоморфизма ε. Аналогично, является инъективным и отображение β. Кроме того, так как для любого h ∊ Н в виду включения h(hφ)-1∊N имеем hα=hN=(hφ)N=(hφ)β, отображения α и β согласованны с изоморфизмом φ.

задан 31 Янв '16 13:51

10|600 символов нужно символов осталось
0

По поводу Предложения 2: надо рассмотреть ограничение гомоморфизма $%\varepsilon$% на подгруппу $%A$%. Ядром ограничения всегда будет пересечение подгруппы с ядром всего гомоморфизма. В данном случае это $%A\cap N=1$%. Значит, ядро тривиально, и $%A$% изоморфно отображается на свой образ, то есть $%A\cong\bar{A}$%. Аналогично, $%B\cong\bar{B}$%.

Из того, что $%D=AB$% (как множество), и из сюръективности естественного гомоморфизма, прямо следует, что $%P=\bar{A}\bar{B}$%.

Далее, рассмотрим подгруппу $%AN$% (это именно подгруппа, как произведение подгруппы и нормальной подгруппы). Как и выше, рассматриваем ограничение естественного гомоморфизма $%\varepsilon$% на эту подгруппу. Ядро здесь по тому же принципу равно $%N$% (пересечение с подгруппой). По теореме о гомоморфизмах, факторгруппа по ядру изоморфна образу. Поскольку элементы $%N$% переходят в единицу, образ равен образу $%A$%, откуда $%AN/N\cong\bar{A}$%. Аналогично, $%BN/N\cong\bar{B}$%, $%HN/N\cong\bar{H}$%, $%KN/N\cong\bar{N}$%.

Заметим, что если элемент $%g$% группы $%D$% перешёл в $%\bar{A}$%, то $%\varepsilon(g)=\varepsilon(a)$% для некоторого $%a\in A$%. Это значит, что $%a^{-1}g$% лежит в ядре, то есть $%g\in AN$%. Это рассуждение доказывает, что полный прообраз подгруппы $%\bar{A}$% при естественном гомоморфизме равен $%AN$%, и аналогично для $%\bar{B}$%. Тем самым, если элемент принадлежит пересечению $%\bar{A}\cap\bar{B}$%, то он является образом элемента из $%AN\cap BN$%. Выше было доказано, что это пересечение равно $%HN=KN$%, и его образом является $%\bar{H}=\bar{K}$%. С учётом того, что полным прообразом последней подгруппы является $%HN=KN$%, содержащееся в пересечении $%AN\cap BN$%, включения будут иметь место в обе стороны, то есть $%\bar{A}\cap\bar{B}=\bar{H}=\bar{K}$%.

Последний абзац текста в пояснениях не нуждается: там доказано равенство $%\alpha=\varphi\beta$% для отображений, и именно оно понимается под согласованностью.

P.S. Не могу удержаться от одного замечания личного характера. Теория групп (и прежде всего комбинаторная теория групп) -- моя основная специальность. Но если бы я вместо красивейших вещей, которыми изобилует эта теория, выполнял подобного рода скучные упражнения, суть которых -- в проверке обозначений (что было на "входе", то имеем и на "выходе"), то я бы ни за что не выбрал такую специальность :)

ссылка

отвечен 31 Янв '16 21:33

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,551
×1,879
×1,025
×441
×26

задан
31 Янв '16 13:51

показан
559 раз

обновлен
31 Янв '16 21:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru