геометрия - Олимпиада по геометрии

Этот вопрос для многих вариантов задавали уже не раз, хотя решения никто не давал. Сделаем это в общем виде для длин BC=a, AC=b, AB=c.

По свойству биссектрисы, точка D делит сторону CB в отношении AC:AB=b:c. Если положить CD=bx, DB=cx, и воспользоваться тем, что CD+DB=a, то получится CD=ab/(b+c).

По свойству касательной и секущей, $%CF\cdot CA=CD^2$%. Отсюда $%CF=CD^2/b=a^2b/(b+c)^2$%, и $%AF=b-CF=b(1-(\frac{a}{b+c})^2)$%.

Заметим, что дуги FD и DE равны, так как на них опираются равные вписанные углы (ввиду того, что AD -- биссектриса). Из этого следует, что хорда EF параллельна касательной BC, проведённой к окружности в точке D. Поэтому треугольники AEF и ABC подобны с коэффициентом $%k=AF:AC=1-(\frac{a}{b+c})^2$%. Этот коэффициент выражаем через длины сторон, и находим $%EF=ka$%.

P.S. Поскольку здесь дана общая формула, то для всех вариантов задачи получается решение. Поэтому просьба (она относится ко всем) не задавать вопросов типа "а правильно ли я подставил(а) числа". Я понимаю, что правильные ответы -- это "наше всё", но не до такой же степени! :)