Шарик от пинг-понга погрузили в водоем на небольшую глубину и отпустили. С каким ускорением он будет всплывать? Массой шарика, вязкостью и трением пренебречь.

Пишу ответы на комментарии, т.к. лимит комментариев исчерпан.

Ответ на комментарий @at1. "...А если сохраняет форму -- то какой же это газ? "
Именно поэтому я написал в условии не "пузырек газа", а "пингпонговый шарик" - невесомая твердая сферическая гладкая оболочка, внутри которой вакуум (или газ). Эффекты изменения объема и формы на самом деле несущественны и для пузырька с газом, но я упростил постановку задачи для того, чтобы абстрагироваться от этих тонкостей.

задан 8 Окт '12 23:18

изменен 4 Ноя '12 3:41

Чем плохи такие задачи - проверить-то невозможно! Так что неясно, "а судьи кто?"

(9 Окт '12 21:00) DocentI

Это физика. А в физике судья один - Его Честь Эксперимент. А что касается этой задачи - у нее простой ответ, но очень сложное и громоздкое чисто математическое решение (нужно решать УЧП). Я ее забросил с расчетом - вдруг у кого-то получится простое короткое решение.

(10 Окт '12 0:37) Андрей Юрьевич

Где же взять эксперимент, в котором нет вязкости, трения и , тем более, массы шарика? Если это "дырки" в воде - как их создать и померить? Нет, такие задачи решаются только умственно ((

(10 Окт '12 23:32) DocentI

Это Вы зря. Как известно, точное решение физической задачи в принципе невозможно, потому что любой физический объект подчиняется сразу всем физическим законам, включая еще не открытые. Построение физической модели собственно и заключается в оценке "удельного веса" всех физических эффектов и в решении вопроса - какие из них мы учитываем, а какими пренебрегаем. То же самое относится к эксперименту - обязательно оцениваются погрешности со стороны всех факторов. Задач, в которых можно пренебречь вязкостью очень много. Практических приложений и экспериментов по пузырькам газа в воде - еще больше.

(10 Окт '12 23:45) Андрей Юрьевич

Вообще-то это задача на понимание физики. Возможно, на математическом форуме она и не очень уместна, но уж очень интересная.

(10 Окт '12 23:50) Андрей Юрьевич

Да уж! Я только читаю эту "серию" задач и чувствую свою полную тупость ...((
Как только математик сходит с прочного основания аксиом, он(а) превращается в несмышленое дитя! ))))

(11 Окт '12 0:21) DocentI

Ладно, ладно, Ирина, давайте без кокетства. Уж Вам-то обвинение в тупости точно не грозит!

(11 Окт '12 0:31) Андрей Юрьевич

Нет, я не шучу! Математическое и физическое мышление - "две большие разницы". В математике я привыкла учитывать все ограничения, а в физике их надо отбрасывать - совершенно другое умственное действие! Тут нужно чутье, да и практический опыт.
В универе по физике у меня всегда было 5, ну, так там она как раз "умозрительная". Нужно было только разобрать стандартные ситуации используя математический аппарат (с этим проблем не возникало).

Но на Ваши физические задачи я даже и не пытаюсь ответить, только наблюдаю, как за боем гладиаторов в Колизее!

(11 Окт '12 0:44) DocentI

@Андрей Юрьевич, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(21 Янв '13 18:45) chameleon
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
2

По закону Архимеда, на шарик будет действовать сила, по модулю равная весу вытесненной им воды: $%F=\rho_WgV$%, где $%\rho_W$% - плотность воды, $%g$% - ускорение свободного падения, $%V$% - объем шарика. Разделим силу на массу шарика и вычтем ускорение свободного падения, чтоб получить ускорение шарика: $%a=\frac{F}{m_B}-g=\frac{\rho_WgV}{\rho_BV}-g=g\left(\frac{\rho_W}{\rho_B}-1\right)$%, где $%m_B$% и $%\rho_B$% - масса и плотность шарика, соотв.
Вывод: нельзя пренебрегать массой шарика, т.к. она оказывает решающее влияние на его ускорение.

ссылка

отвечен 8 Окт '12 23:36

Масса шарика равна нулю. Но пусть даже это не так, предположим он заполнен воздухом. Вы что, всерьез считаете, что он будет всплывать с ускорением $%800g$%?! А если водородом? У Вас получится $%23000g$%!

(8 Окт '12 23:45) Андрей Юрьевич

Этого не произойдет из-за поверхностного натяжения, вязкости, трения и еще кучи других сил, которыми Вы благородно пренебрегли :) К тому же, кое-какой массой (большей, чем масса воздуха) шарик таки обладает из-за его стенок.

(8 Окт '12 23:48) chameleon

Стенок может и не быть, предположим, что это не шарик, а просто газовый пузырек. А что касается пренебрежения другими силами... Ну, пусть это будет пузырек гелия в сверхтекучем жидком гелии. Там этих сил нет в принципе. В общем, суть не в этом. Ускорение получится конечным и совсем не запредельным. Поставленная задача - это задача о движении в среде. Ваше решение можно применять только в том случае, если движение самой среды - поправка. У нас же прямо противоположный случай.

(9 Окт '12 0:08) Андрей Юрьевич

Не понял? Что за поправка? И как Вы можете ставить задачу о движении в среде, если просите пренебрегать всеми силами, которые порождает эта среда? Вы говорите о движении самой среды... Это движение и порождает вязкость.

(9 Окт '12 0:12) chameleon

Еще на шарик действует сопротивление поверхности $%F=kSv^2$%... Можно хоть им не пренебрегать?

(9 Окт '12 0:15) chameleon

Насчет вязкости Вы не правы. Вязкость - это диссипативная характеристика. Сверхтекучий гелий тоже движется но его вязкость строго равна нулю. В этой задаче шарик вообще нельзя рассматривать как тело, т.к. его масса равна нулю. Он здесь аналогичен "дырке" в полупроводнике.

(9 Окт '12 2:04) Андрей Юрьевич

@Андрей Юрьевич Вы уж определитесь: 1. это "шарик" т.е. твердое тело, 2. или это некоторый кусок вакуума в жидкости, который хоть и имеет конечный объём в начальный момент времени, но сразу "схлопнется" 3. Или кусок другого газа "не имеющего массы". Это что тогда? Не могу себе представить молекулы газа без массы.

Если Вы имеете в виду именно "сверхтекучий гелий", а не шарик, то напишите это в условии.

(2 Ноя '12 5:30) at1

@at1, как я уже сказал, в физических задачах первый и самый главный этап определить, какие эффекты мы учитываем, а какими пренебрегаем. Например, рассматривая движение брошенного камня мы учитываем влияние Земли на движение камня, но не учитываем влияние камня на движением Земли. И не учитываем влияние Луны на камень и еще много чего. В данной задаче я сразу перечислил эффекты и параметры, которыми нужно пренебречь - масса шарика равна нулю, вязкость отсутствует, объем постоянен. Можете мне поверить, что такая постановка вполне адекватна для реальных пузырьков газа в воде.

(2 Ноя '12 23:27) Андрей Юрьевич

@Андрей Юрьевич, очень хотелось узнать сохраняет ли оно форму, или только объём. Потому что, если нет, то вода просто упадет на это невесомое чудо, расплющив его в бесконечно тонкий слой (т.е. всплывать никто не будет). А если сохраняет форму -- то какой же это газ? Мне не осознать условие пока =(

(3 Ноя '12 5:08) at1
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
2

Привожу ответ.

Ускорение шарика будет равно $%2g$%.

Ответ зависит от формы - для несферических тел он будет другим, но по порядку величины это всегда будет $%g$%, т.е. $%a = k \cdot g$%, где формфактор $%k$% имеет порядок 1.

Задача обсуждается, например, здесь (там же есть ссылки на Квант). Для того, чтобы получить правильный ответ, нужно решить уравнение Навье-Стокса c нулевой вязкостью и с граничными условиями на сфере в движущейся системе координат. По всей видимости, ничего более простого не получается.

Дополнение 1 (ответ на решение @АлекСт ).

Оригинально, но, к сожалению, неправильно. Начну издалека. С точки зрения механики Ньютона мир состоит из материальных точек (частиц), для каждой из которых можно написать уравнение движения (второй закон Ньютона) в виде $%m_i \frac{d \vec{v_i}}{dt}=\sum_j{\vec{F_{ij}}}$%, где $% \vec{F_{ij}}$% -$%j$%-я сила, действующая на $%i$%-ю частицу. Это принципиальный момент: на каждую частицу действуют свои силы, и нельзя силы, действующие на одну частицу "приписывать" другой. Вместо второго закона Ньютона можно записать законы сохранения энергии и импульса - это сути не изменит, т.к. в механике эти законы эквивалентны законам Ньютона.
Теперь вернемся к нашей задаче. Рассмотрим сначала ее в более общей постановке с шариком, наделенным массой. В этом случае нам нужно было бы записать уравнения движения и для шарика, и для всех частиц воды - это наиболее общая и строгая постановка задачи. Так вот, при такой постановке задачи сила сопротивления, которую Вы выписали, действовала бы именно НА ШАРИК! Обычно, когда рассматривают движение тел в среде, от движения самой среды отвлекаются и рассматривают именно движение тела, на которое действуют какие-то силы. Но у нас противоположный предельный случай. У нас тела нет, а есть только среда, и только ее движение нужно рассматривать. И сила, которую Вы выписали из Википедии здесь ни при чем!
Если исходить из закона сохранения энергии, то он здесь имеет очень простой вид (формально): потенциальная энергия частиц воды переходит в их кинетическую энергию. Но! Двигаться будет вся вода, находящаяся выше шарика, причем весьма сложным образом. В частности, это движение никак нельзя считать одномерным. Решение уравнение Навье-Стокса как раз и даст структуру поля скоростей, т.е. картину движения воды.

Дополнение 2 (ответ на комментарии @АлекСт ).
Уважаемый @АлекСт, неправы в данном случае Вы. Я не случайно начал Дополнение 1 с фундаментальных законов механики. Для того, чтобы говорить о какой-либо силе, нужно понимать, к чему эта сила приложена. А приложена сила в механике может к двум объектам 1) к материальной точке, 2) к материальному телу - некоторой устойчивой и качественно определенной совокупности материальных точек. Говорить о какой-то силе, которая неизвестно к чему приложена бессмысленно. Если бы мы рассматривали движение, например, стального шарика в воде, эта формула была бы весьма уместна. Но нужно понимать, как она в этом случае работает: сила действует НА ШАРИК и меняет ЕГО скорость (а точнее, ЕГО ИМПУЛЬС) в соответствии со вторым законом Ньютона. Либо сила совершает работу НАД ШАРИКОМ и изменяет ЕГО КИНЕТИЧЕСКУЮ ЭНЕРГИЮ в соответствии с законом сохранения энергии, который в данном случае эквивалентен второму закону Ньютона. У пузырька в данной задаче масса равна нулю, соответственно, изменение и его импульса, и его кинетической энергии равны нулю. Соответственно, работа любой силы НАД НИМ также равна нулю. Соответственно, в энергечиском балансе никакой дополнительной силы не будет. Да и откуда ей взяться? У нас есть только идеальная жидкость, которая перетекает из одного места в другое и никаких других материальных объектов в задаче просто нет. А у идеальной жидкости есть только плотность кинетической энергии (кинетическая энергия на единицу объема) и плотность потенциальной энергии в поле тяжести. И никаких других энергий или "работ" над ее частицами просто нет!

P.S. Впрочем, некоторая доля истины в Вашем решении есть. Если отбросить введенную Вами силу, то из записанного Вами баланса энергии получается $%\frac{dv}{dt}=g$%, что верно в качестве грубой оценки.

Дополнение 3 (ответ на комментарии @АлекСт ).
Единственное, что я могу Вам посоветовать - прочитать более внимательно первый абзац моего Дополнения 1. Или прочитать то же самое в любом хорошем учебнике общей физики.

Дополнение 4.
Мне кажется, имеет смысл пояснить предельный переход от массивного тела к "пузырьку"-телу нулевой массы. Итак, предположим, что шарик имеет значительную массу, равную $%m$%. Запишем для него уравнение движения (второй закон Ньютона): $$m \frac{dv}{dt}=-mg+F_{pu}-F_{re}$$ где $%F_{pu}$% -выталкивающая сила, а $%F_{re}$%-сила сопротивления (в общем случае может включать и вязкость), ось направлена вверх. Откуда $$\frac{dv}{dt}=-g+\frac{F_{pu}-F_{re}}{m}$$ По своей сути $%F_{pu}$% и $%F_{re}$% - это 2 части одной силы - силы воздействия на тело со стороны среды. Для достаточно массивных тел эти силы можно разделить, записав первую по формуле Архимеда, а вторую - по эмпирической формуле, выписанной @АлекСт из Википедии. Но, по мере уменьшения массы тела, такое разделение становится все менее и менее корректным. Из приведенного выражения видно, что при $%m \to 0$% разность $%F_{pu}-F_{re}$% должна стремиться к нулю. Это означает, что стандартные выражения для этих сил перестают работать. В этом нет ничего удивительного, т.к. любая формула в физике выводится и работает только при определенных условиях, только в СВОЕЙ ОБЛАСТИ АДЕКВАТНОСТИ. Максимально широкую область адекватности имеют только фундаментальные физические законы, в классической механике - это законы Ньютона.

Дополнение 5 (для @nikolaykruzh... )
1) "...итак, ускорение шарика в принципе есть вторая производная от глубины погружения со знаком минус" - что это значит? По какой переменной производная?
2) "...поэтому оно не может быть больше ускорения силы тяжести (в противном случае вечный двигатель, наконец-то, становится долгожданной реальностью)" - это неправильно, вечный двигатель здесь совершенно ни при чем. Представьте следующую модель. Невесомая балка опирается на точечную опору в некоторой своей точке, находящейся не посредине. На краю длинного плеча лежит пингпонговый шарик. Вы садитесь на край короткого плеча и начинаете двигаться вниз с ускорением $%g$%. С каким ускорением будет двигаться вверг шарик? Если Вы считаете, что это конструкция вечного двигателя - можете подавать заявку на патент.

Дополнение 6 (для @nikolaykruzh... ) "...потому что не только меня на коротком конце - вообще никаких внешних сил, кроме силы тяготения, нет" - в примере с балкой тоже никаких внешних сил, кроме силы тяготения, нет. Вы - это аналог воды, шарик - это шарик, а балка - модель их взаимодействия (вернее воздействия). Правда, о "взаимодействии" или о "воздействии" можно говорить только в том случае, если масса шарика мала, но, все-таки, не равна нулю. А объект с нулевой массой вообще физическим объектом не является и может двигаться как угодно. Есть примеры, когда подобные нефизические объекты двигаются, например, быстрее света.
Заявку я подавать не буду, потому что, как я уже сказал, к вечному двигателю все это не имеет никакого отношения.
С производной я ничего не понял. Для того, чтобы взять производную, нужно иметь аргумент и функцию этого аргумента. У Вас же и то $%z$%, и это $%z$%. Ну, тогда производная просто равна единице!

Дополнение 7 (ответ на комментарии @АлекСт ).
1) Вообще-то, я дал ссылку на статью в Кванте (см. начало ответа), там приведено полное решение для цилиндрического "шарика" и ответ для сферического. Если этого недостаточно - напишу полное решение для сферического шарика, когда будет чуть больше времени - оно очень громоздкое.
2) Если знаменатель дроби стремится к нулю, а дробь имеет конечный предел, то числитель тоже должен стремиться к нулю. Почему дробь должна иметь конечный предел? Потому, что иначе получится бесконечное ускорение, а это уж точно противоречит любому физическому смыслу.

ссылка

отвечен 9 Ноя '12 13:15

изменен 21 Янв '13 23:40

Спасибо, интересно!

(9 Ноя '12 13:53) DocentI

Вы неправы. Сила причём. Она совершает работу, которой нельзя пренебречь, и с массой шарика никак не связана, но зависит от среды! Посмотрите на формулу силы ещё раз.

(18 Янв '13 4:06) АлекСт

Возможно, в моём решении имеется грубый расчёт относительно объёма вовлечённой жидкости в процесс малого перемещения... Тут надо подумать.

(18 Янв '13 4:23) АлекСт

@Андрей Юрьевич

Соответственно, работа любой силы НАД НИМ также равна нулю.

Малое значение массы ещё ни о чём не говорит. Да, шарик малой массы. Но работа силы сопротивления направлена не на него (!) - даже при тяжёлом шарике, - а на то, что его движет вверх - на выталкивающую его воду. Вы не можете не понимать, что работа силы тяжести, действующей на шарик, направлена не против силы сопротивления движению, а против выталкивающей силы.

Следуя вашей логике, я могу привязать спереди локомотива пластиковую канистру, и говорить, что смогу остановить поезд на ходу - канистра-то лёгкая.

(18 Янв '13 14:44) АлекСт

сила действует НА ШАРИК и меняет ЕГО скорость (а точнее, ЕГО ИМПУЛЬС)

В данном конкретном случае, сила меняет скорость не шарика как такового, а скорость системы "толкающая вода + невесомый шарик". Вы правильно сказали, нужно понимать, что происходит.

(18 Янв '13 14:46) АлекСт
10|600 символов нужно символов осталось
2

Если верить экспериментальным данным, то скорость пузырька (им можно заменить шарик от пинг-понга в данной задаче) имеет пределы. Насколько я разглядел в приведённой ссылке - 4см/с. Выходит, ускоренное движение будет продолжаться всего лишь 2 миллисекунды при ускорении $%2g$%.

Дополнение

Меня заинтересовала эта задача, и я попытался её решить через закон сохранения энергии. Я получил непостоянное ускорение, вот ссылка на решение при радиусе шарика 2см (у меня зависит) . Конечно, можно было бы привести общее решение, но maxima (которой я пользуюсь) почему-то полученный мной дифур решила преобразованиями лапласа, да так странно, что нет возможности увидеть вид функции, собственно почему и решал численно через wolfram. Если интересно, дожму решение в общем виде и приведу здесь :).

Дополнение 2

Привожу свои расчёты.

Итак. Можно пойти от воды. Записать закон сохранения энергии. При перемещении шарика вверх работа силы тяжести (отрицательная) не совершается - ввиду нулевой его массы. Полезную работу совершает потенциальная энергия воды, объём которой вытеснен шариком. Эта работа идёт на преодоление силы сопротивления при движении шарика вверх (насколько я разобрался, это не вязкость, поэтому учитывается) и на придание кинетической энергии воде, которая устремляется вниз, менясь с шариком местами. Эффективный объём вовлечённой в этот процесс воды я считаю равным объёму шарика. Скорость перемещения эффективного объёма воды я считаю равной и направленной противоположно скорости движения шарика.

Кратко: изменение потенциальной энергии воды равно изменению кинетической энергии этого же объёма воды плюс работа силы сопротивления движению.

$$ \Delta E_{потенц}\left(воды_{V_{шарик}}\right) = \Delta E_{кинетическ}\left(воды_{V_{шарик}}\right) + F_{сопр}\left( V_{шарик},форма\_шарика \right)\cdot \Delta h \qquad (1) $$ , где $% \Delta h $% - малое перемещение, соответствующее этому энергетическому обмену, $%h$% отсчитывается от уровня воды в глубину (глубина погружения).

Силу сопротивления определяю по формуле из википедии: $$ F_{сопр}=0.5\cdot c_f \cdot \rho \cdot \upsilon^2 \cdot S$$, где $% c_f $% - коэффициент формы (для сферы - 0.47, там же в вики), $%S=4\pi R^2$% - площадь миделева сечения шарика, $%\rho$% - плотность воды.

Расписываю детально:

$$ \stackrel {\Delta E_{потенц}\left(воды_{V_{шарик}}\right)}{\overbrace { \rho \frac{4}{3}\pi R^3 g \Delta h }} = \stackrel{\Delta E_{кинетическ}\left(воды_{V_{шарик}}\right)}{\overbrace {\frac{\rho \frac{4}{3}\pi R^3 \left( \upsilon\left(h+\Delta h\right)^2 - \upsilon\left(h\right)^2 \right)}{2}}} + \stackrel{F_{сопр}\left( V_{шарик},форма\_шарика \right)\cdot \Delta h }{\overbrace{ 0.5 c_f \rho \upsilon^2 4 \pi R^2 \Delta h }} \qquad (2) $$

Расписываю это уравнение в дифференциальной форме. При этом: $$
\upsilon\left(h+\Delta h\right) = \upsilon\left(h\right) + \frac{d\upsilon}{dt}dt = \upsilon\left(h\right) + \frac{d^2h(t)}{dt^2}dt $$$$ \upsilon\left(h+\Delta h\right)^2 - \upsilon\left(h\right)^2 = 2\frac{d^2h(t)}{dt^2}dt \cdot \stackrel{\frac{dh(t)}{dt}}{\overbrace{ \upsilon\left(h\right)}} + \left(\frac{d^2h(t)}{dt^2}dt\right)^2 = \\ \frac{d^2h(t)}{dt^2}dt \left( 2\frac{dh(t)}{dt} + \frac{d^2h(t)}{dt^2}dt \right) $$ и $$ \Delta h = \upsilon_0\Delta t + \frac{a \Delta t^2}{2} = \frac{dh(t)}{dt}dt+\frac{d^2h(t)}{dt^2}\frac{dt^2}{2} = \frac{dt}{2}\left( 2\frac{dh(t)}{dt} + \frac{d^2h(t)}{dt^2}dt \right) $$ Переписываю (2), попутно сокращая на $%dt \cdot \left( 2\frac{dh(t)}{dt} + \frac{d^2h(t)}{dt^2}dt \right)$%:

$$ \rho \frac{4}{3}\pi R^3 g \frac{1}{2} = \frac{\rho \frac{4}{3}\pi R^3 \frac{d^2h(t)}{dt^2}}{2} + 0.5 c_f \rho \left( \frac{dh(t)}{dt} \right)^2 4 \pi R^2 \frac{1}{2} $$ Сокращаю всё на $%\frac{\rho 4\pi R^2}{2}$%: $$ \frac{Rg}{3}= \frac{R}{3}\frac{d^2h(t)}{dt^2}+0.5 c_f \left( \frac{dh(t)}{dt} \right)^2 $$ чуток упрощая

$$ \overbrace{g}^{c_0} = \overbrace{1}^{c_2}\cdot\frac{d^2h(t)}{dt^2}+\overbrace{0.5 c_f \frac{3}{R}}^{c_1} \left( \frac{dh(t)}{dt} \right)^2 $$

$%\frac{dh(t)}{dt} \rightarrow y(t)$%:

$$ c_2 \frac{dy(t)}{dt} + c_1 \left(y(t)\right)^2 = c_0 $$ Пока сделаю паузу (продолжение следует)...

Вставка 1 (Для @Андрей Юрьевич)

2) Если знаменатель дроби стремится к нулю, а дробь имеет конечный предел, то числитель тоже должен стремиться к нулю. Почему дробь должна иметь конечный предел? Потому, что иначе получится бесконечное ускорение, а это уж точно противоречит любому физическому смыслу.

С конечностью дроби как раз сомнений нет. Вызывает удивление ваша логика, "притягивающая за уши" желаемые выводы. По-вашему, вот этот предел "должен быть равен" нулю? :

$$ \lim_{x\to 0} \frac{x \cdot 1000000}{x} $$

Вставка 2 (Для @Андрей Юрьевич)

Это принципиальный момент: на каждую частицу действуют свои силы, и нельзя силы, действующие на одну частицу "приписывать" другой. Вместо второго закона Ньютона можно записать законы сохранения энергии и импульса - это сути не изменит, т.к. в механике эти законы эквивалентны законам Ньютона.

Покажите пожалуйста, где именно произошло "приписывание" в моём решении. Если вы о том, что силу сопротивления нужно выкинуть лишь на том основании, что она действует на шар с массой, стремящейся к нулю, то я считаю это недопустимым. Для наглядности пример. Есть два твёрдых тела, лёгкое массой $%m \to 0$% и тяжёлое, массой $%M$%. Оба тела лежат на горизонтальной поверхности с коэффициентом трения скольжения, равным нулю, и соприкасаются друг с другом. К лёгкому телу по направлению к тяжёлому прикладывается сила $%F$%. Следуя вашей логике, эта сила должна быть проигнорирована (какой бы большой она ни была), ввиду того, что приложена к телу с практически нулевой массой. Это же абсурд!

P.S. я приношу извинения читающим, за то, что тут появляется некое подобие неформатной дискуссии, но, как говорил Аристотель, "Платон мне друг, но истина дороже".

ссылка

отвечен 15 Янв '13 17:51

изменен 22 Янв '13 1:31

Стабилизация скорости шарика (аналогично стабилизации скорости парашютиста) происходит из-за действия вязких сил, а в условии задачи использовано предположение нулевой вязкости. Поэтому, если говорить о реальной физической системе, соответствующей условию задачи, то это, скорей, - не пузырьки воздуха в воде, а пузырьки гелия в жидком сверхтекучем гелии. В реальной воде, действительно, ускорение быстро погасится из-за вязкости.

(15 Янв '13 18:09) Андрей Юрьевич

Если приведете решение - будет очень интересно!

(16 Янв '13 23:17) Андрей Юрьевич

Но уравнение, которое Вы написали в ссылке - неверное. Нужно записывать уравнение Навье-Стокса для частичек воды - именно они движутся. А шарик (пузырек) просто обеспечивает им граничные условия.

(17 Янв '13 12:53) Андрей Юрьевич

я просто пошёл от сохранения энергии и пришёл к такому уравнению (см. дополнение 2)

(17 Янв '13 19:22) АлекСт

Я не вижу убедительных оснований, чтобы отбрасывать силу сопротивления. Она характеризует жидкость, но не шарик.

(18 Янв '13 15:13) АлекСт
10|600 символов нужно символов осталось
2

Давление жидкости, которое действует на шарик и создаёт его ускорение, не является величиной постоянной: оно зависит от глубины погружения шарика внутрь жидкости. Само давление есть функция z (глубины погружения), ро (плотности жидкости) и g (ускорения силы тяжести). Ро и g - величины постоянные в данном эксперименте. Итак, ускорение шарика в принципе есть вторая производная от глубины погружения z со знаком минус и не является величиной постоянной, уменьшаясь по мере подъёма шарика наверх. Поэтому оно не может быть больше ускорения силы тяжести (в противном случае вечный двигатель, наконец-то, становится долгожданной реальностью). Его величину можно (если можно!) определить экспериментально

ссылка

отвечен 19 Янв '13 17:31

изменен 19 Янв '13 18:13

см. Дополнение 5 к ответу

(19 Янв '13 17:54) Андрей Юрьевич

Производная по переменной z - глубине погружения шарика: уравнение Бернулли. Пример с невесомой балкой, думаю, неудачен. В жидкости меня нет: там только жидкость. Ускорение не может быть иным: либо g, либо меньше g, именно потому что не только меня на коротком конце - вообще никаких внешних сил, кроме силы тяготения, нет, за счёт чего могло бы возникнуть ускорение, большее земного. А за совет сделать заявку на патент - спасибо. Но - откажусь: всё-таки конструкция Ваша! Неудобно.

(19 Янв '13 18:37) nikolaykruzh...

$$z = - p/((ro)g)$$ z = f(p), и наоборот: p = f(z). Чем больше глубина погружения, тем выше давление. Откуда тут при дифференцировании появится зловредная единица? Я согласен, что с помощью рычага можно получить ускорение, большее, чем g. Я согласен даже стать аналогом воды, но рычаг для меня - не постижимое понятие, как для Петьки - Василий Иванович Чапаев ("Непостижимый ты моему уму человек!")... Быстрее света - это фазовые волны, что ли?

(19 Янв '13 20:11) nikolaykruzh...

Ну, $% p(z)=p_0+\rho \cdot g \cdot z \; \; \;\;$%, здесь все просто, т.ч. Ваша производная равна константе (хоть и не 1). Что касается скорости больше скорости света, то это не только фазовая скорость волны в волноводе, но и например, скорость перемещения границы "свет-тень". Освещая узким лучом света далекие небесные тела, можно двигать световой зайчик по их поверхности с какой угодно скоростью.

(19 Янв '13 20:38) Андрей Юрьевич

Помню, в детстве я не смог ответить на вопрос:"Что быстрее всего на свете?" Оказалось - мысль: можно за полсекунды увидеть поверхность Луны - быстрее, чем до неё дойдёт свет. Но это не материальный ответ. Зайчик, между прочим, - из этой же серии. Перевести пучок лазера с одной звезды на другую - просто: мгновенно, но это тоже не материально: это только мысленно представленная скорость, которая реально не выполнима: на другую звезду свет попадёт, только преодолев огромное расстояние от меня до звезды... С константой согласен...Убеждён: ускорение шарика не больше g: это просто неестественно!

(19 Янв '13 22:52) nikolaykruzh...

Убеждение - великая вещь!

(20 Янв '13 2:59) Андрей Юрьевич

Разумеется, моё убеждение - не того рода, за которое шли на гильотину: туда я просто струсил бы, отказавшись от своих принципов ради жизни, ценнее чего ничего нет. Ваше убеждение - другого вида: оно подкреплено пером и железной логикой. И уж Вы бы собственной жизни не пожалели ради своей правды. Поэтому без сожаления стегнули меня, как кнутом, своим афоризмом. Ну да Бог Вам судья!

(21 Янв '13 0:05) nikolaykruzh...

Да что Вы! Я человек не кровожадный и совсем не фанатик. И точно не пойду под гильотину для того, чтобы что-то кому-то доказать. Но не могу же я согласиться с тем, что ускорение меньше $%g$%, если оно на самом деле равно $%2g$%! А т.к. логику Вы не воспринимаете, приходится прибегать к афоризмам.

(21 Янв '13 17:40) Андрей Юрьевич

Вот @Андрей Юрьевич, а откуда взято $%2g$%? Приведите решение. Вы вот говорите про "убеждение", а сами фактически только убеждаете в правильности приведённого вами ответа. Где решение?

(21 Янв '13 18:56) АлекСт

Не могу пройти мимо этого:

что при m→0 разность Fpu−Fre должна стремиться к нулю

Это что же, деление на ноль должно (?) давать ноль?

(21 Янв '13 18:57) АлекСт
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×780
×141
×16

задан
8 Окт '12 23:18

показан
2300 раз

обновлен
6 Фев '14 18:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru