дифференциальные-уравнения - Всплывание шарика

Привожу ответ.

Ускорение шарика будет равно $%2g$%.

Ответ зависит от формы - для несферических тел он будет другим, но по порядку величины это всегда будет $%g$%, т.е. $%a = k \cdot g$%, где формфактор $%k$% имеет порядок 1.

Задача обсуждается, например, здесь (там же есть ссылки на Квант). Для того, чтобы получить правильный ответ, нужно решить уравнение Навье-Стокса c нулевой вязкостью и с граничными условиями на сфере в движущейся системе координат. По всей видимости, ничего более простого не получается.

Дополнение 1 (ответ на решение @АлекСт ).

Оригинально, но, к сожалению, неправильно. Начну издалека. С точки зрения механики Ньютона мир состоит из материальных точек (частиц), для каждой из которых можно написать уравнение движения (второй закон Ньютона) в виде $%m_i \frac{d \vec{v_i}}{dt}=\sum_j{\vec{F_{ij}}}$%, где $% \vec{F_{ij}}$% -$%j$%-я сила, действующая на $%i$%-ю частицу. Это принципиальный момент: на каждую частицу действуют свои силы, и нельзя силы, действующие на одну частицу "приписывать" другой. Вместо второго закона Ньютона можно записать законы сохранения энергии и импульса - это сути не изменит, т.к. в механике эти законы эквивалентны законам Ньютона.
Теперь вернемся к нашей задаче. Рассмотрим сначала ее в более общей постановке с шариком, наделенным массой. В этом случае нам нужно было бы записать уравнения движения и для шарика, и для всех частиц воды - это наиболее общая и строгая постановка задачи. Так вот, при такой постановке задачи сила сопротивления, которую Вы выписали, действовала бы именно НА ШАРИК! Обычно, когда рассматривают движение тел в среде, от движения самой среды отвлекаются и рассматривают именно движение тела, на которое действуют какие-то силы. Но у нас противоположный предельный случай. У нас тела нет, а есть только среда, и только ее движение нужно рассматривать. И сила, которую Вы выписали из Википедии здесь ни при чем!
Если исходить из закона сохранения энергии, то он здесь имеет очень простой вид (формально): потенциальная энергия частиц воды переходит в их кинетическую энергию. Но! Двигаться будет вся вода, находящаяся выше шарика, причем весьма сложным образом. В частности, это движение никак нельзя считать одномерным. Решение уравнение Навье-Стокса как раз и даст структуру поля скоростей, т.е. картину движения воды.

Дополнение 2 (ответ на комментарии @АлекСт ).
Уважаемый @АлекСт, неправы в данном случае Вы. Я не случайно начал Дополнение 1 с фундаментальных законов механики. Для того, чтобы говорить о какой-либо силе, нужно понимать, к чему эта сила приложена. А приложена сила в механике может к двум объектам 1) к материальной точке, 2) к материальному телу - некоторой устойчивой и качественно определенной совокупности материальных точек. Говорить о какой-то силе, которая неизвестно к чему приложена бессмысленно. Если бы мы рассматривали движение, например, стального шарика в воде, эта формула была бы весьма уместна. Но нужно понимать, как она в этом случае работает: сила действует НА ШАРИК и меняет ЕГО скорость (а точнее, ЕГО ИМПУЛЬС) в соответствии со вторым законом Ньютона. Либо сила совершает работу НАД ШАРИКОМ и изменяет ЕГО КИНЕТИЧЕСКУЮ ЭНЕРГИЮ в соответствии с законом сохранения энергии, который в данном случае эквивалентен второму закону Ньютона. У пузырька в данной задаче масса равна нулю, соответственно, изменение и его импульса, и его кинетической энергии равны нулю. Соответственно, работа любой силы НАД НИМ также равна нулю. Соответственно, в энергечиском балансе никакой дополнительной силы не будет. Да и откуда ей взяться? У нас есть только идеальная жидкость, которая перетекает из одного места в другое и никаких других материальных объектов в задаче просто нет. А у идеальной жидкости есть только плотность кинетической энергии (кинетическая энергия на единицу объема) и плотность потенциальной энергии в поле тяжести. И никаких других энергий или "работ" над ее частицами просто нет!

P.S. Впрочем, некоторая доля истины в Вашем решении есть. Если отбросить введенную Вами силу, то из записанного Вами баланса энергии получается $%\frac{dv}{dt}=g$%, что верно в качестве грубой оценки.

Дополнение 3 (ответ на комментарии @АлекСт ).
Единственное, что я могу Вам посоветовать - прочитать более внимательно первый абзац моего Дополнения 1. Или прочитать то же самое в любом хорошем учебнике общей физики.

Дополнение 4.
Мне кажется, имеет смысл пояснить предельный переход от массивного тела к "пузырьку"-телу нулевой массы. Итак, предположим, что шарик имеет значительную массу, равную $%m$%. Запишем для него уравнение движения (второй закон Ньютона): $$m \frac{dv}{dt}=-mg+F_{pu}-F_{re}$$ где $%F_{pu}$% -выталкивающая сила, а $%F_{re}$%-сила сопротивления (в общем случае может включать и вязкость), ось направлена вверх. Откуда $$\frac{dv}{dt}=-g+\frac{F_{pu}-F_{re}}{m}$$ По своей сути $%F_{pu}$% и $%F_{re}$% - это 2 части одной силы - силы воздействия на тело со стороны среды. Для достаточно массивных тел эти силы можно разделить, записав первую по формуле Архимеда, а вторую - по эмпирической формуле, выписанной @АлекСт из Википедии. Но, по мере уменьшения массы тела, такое разделение становится все менее и менее корректным. Из приведенного выражения видно, что при $%m \to 0$% разность $%F_{pu}-F_{re}$% должна стремиться к нулю. Это означает, что стандартные выражения для этих сил перестают работать. В этом нет ничего удивительного, т.к. любая формула в физике выводится и работает только при определенных условиях, только в СВОЕЙ ОБЛАСТИ АДЕКВАТНОСТИ. Максимально широкую область адекватности имеют только фундаментальные физические законы, в классической механике - это законы Ньютона.

Дополнение 5 (для @nikolaykruzh... )
1) "...итак, ускорение шарика в принципе есть вторая производная от глубины погружения со знаком минус" - что это значит? По какой переменной производная?
2) "...поэтому оно не может быть больше ускорения силы тяжести (в противном случае вечный двигатель, наконец-то, становится долгожданной реальностью)" - это неправильно, вечный двигатель здесь совершенно ни при чем. Представьте следующую модель. Невесомая балка опирается на точечную опору в некоторой своей точке, находящейся не посредине. На краю длинного плеча лежит пингпонговый шарик. Вы садитесь на край короткого плеча и начинаете двигаться вниз с ускорением $%g$%. С каким ускорением будет двигаться вверг шарик? Если Вы считаете, что это конструкция вечного двигателя - можете подавать заявку на патент.

Дополнение 6 (для @nikolaykruzh... ) "...потому что не только меня на коротком конце - вообще никаких внешних сил, кроме силы тяготения, нет" - в примере с балкой тоже никаких внешних сил, кроме силы тяготения, нет. Вы - это аналог воды, шарик - это шарик, а балка - модель их взаимодействия (вернее воздействия). Правда, о "взаимодействии" или о "воздействии" можно говорить только в том случае, если масса шарика мала, но, все-таки, не равна нулю. А объект с нулевой массой вообще физическим объектом не является и может двигаться как угодно. Есть примеры, когда подобные нефизические объекты двигаются, например, быстрее света.
Заявку я подавать не буду, потому что, как я уже сказал, к вечному двигателю все это не имеет никакого отношения.
С производной я ничего не понял. Для того, чтобы взять производную, нужно иметь аргумент и функцию этого аргумента. У Вас же и то $%z$%, и это $%z$%. Ну, тогда производная просто равна единице!

Дополнение 7 (ответ на комментарии @АлекСт ).
1) Вообще-то, я дал ссылку на статью в Кванте (см. начало ответа), там приведено полное решение для цилиндрического "шарика" и ответ для сферического. Если этого недостаточно - напишу полное решение для сферического шарика, когда будет чуть больше времени - оно очень громоздкое.
2) Если знаменатель дроби стремится к нулю, а дробь имеет конечный предел, то числитель тоже должен стремиться к нулю. Почему дробь должна иметь конечный предел? Потому, что иначе получится бесконечное ускорение, а это уж точно противоречит любому физическому смыслу.