Посмотрел похожий вопрос, но не могу понять, как применить данные рассуждения к моему случаю.

Найти число разложений в прямую сумму ненулевых слагаемых групп $%Z_{p^2} \oplus Z_{p^3}$%, p - простое

задан 4 Фев '16 19:04

10|600 символов нужно символов осталось
0

Уточним постановку вопроса (по аналогии с теми похожими, которые уже были). Дана группа $%G=\mathbb Z_{p^2}\oplus\mathbb Z_{p^3}$%. Требуется найти число способов представить её в виде прямой суммы подгрупп вида $%G=A\oplus B$%, где $%A\cong\mathbb Z_{p^2}$% и $%B\cong\mathbb Z_{p^3}$%.

Для начала посмотрим, сколькими способами можно задать подгруппу $%B$%, то есть сколько в $%G$% имеется подгрупп порядка $%p^3$%. Проще всего это сделать через прямое описание. Если $%(a,b)\in G$% имеет порядок $%p^3$%, то $%b$% имеет порядок $%p^3$%, и тогда среди кратных этого элемента встречается элемент вида $%(c,1)$% того же порядка, порождающий ту же подгруппу. Получается $%p^2$% подгрупп, и все они попарно различны.

Теперь надо понять, сколькими способами можно выбрать прямое дополнение для каждой из подгрупп $%B$%, порождённой элементом вида $%(c,1)$%. Хотя бы один способ всегда имеется: это $%(1,0)$% в качестве дополняющего элемента. Отсюда следует, что для всех подгрупп вида $%B$%, количество способов выбрать дополняющее слагаемое всегда будет одним и тем же, поскольку любое прямое разложение изоморфно исходному. Следовательно, нам достаточно подсчитать это количество для случая, когда $%B$% порождена элементом $%(0;1)$%. Здесь первое прямое слагаемое будет порождено элементом вида $%(a,b)$%, где $%a$% не делится на $%p$% -- в противном случае $%(1;0)$% не выразить. Тогда образующий будет эквивалентен элементу вида $%(1;d)$%, и он должен иметь порядок $%p^2$%, откуда следует, что $%d$% делится на $%p$%. Тогда для $%d$% имеется $%p^2$% способов выбора.

Итого имеем $%p^2\cdot p^2=p^4$% разложений в прямую сумму.

ссылка

отвечен 4 Фев '16 22:12

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,209
×875
×391

задан
4 Фев '16 19:04

показан
494 раза

обновлен
4 Фев '16 22:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru