Уравнение: $%\sqrt{x}=-1$%. Чему равен $%x$%? Если единице, то чему равен корень от нее - единице или плюс-минус единице? В первом случае решения уравнения нет, во втором есть. Но ведь от того, какой корень мы берем - арифметический или алгебраический - решение зависеть не должно, поскольку в данном случае речь идет об абстрактном уравнении, не привязанном к конкретной задаче. Так как?

задан 9 Окт '12 12:39

изменен 9 Окт '12 17:23

Anatoliy's gravatar image


12.8k434

10|600 символов нужно символов осталось
1

Значок радикала $%\sqrt{.}$%, если не оговорено что-то другое, обозначает арифметический корень, так что уравнение $%\sqrt{x}=-1$% решений не имеет.

В теории функций комплексной переменной этим же значком иногда обозначают многозначную функцию "корень", но это довольно неудобно и приводит к сложностям, если вставлять такой "корень" в равенства. Потому что непонятно, какое именно значение из многих имеется в виду.

Дополнение. Смысл тех или иных обозначений - вопрос соглашения между математиками. Если некоторое обозначение не универсально, то приходится выбирать, какие его качества нам ценнее.
Понятие функции (однозначного соответствия) очень важно, так что стараются соответствия выразить именно через функции.

Если мы видим равенство $%f(x) = g(x)$%, мы понимаем, что слева стоит число, найденное для аргумента x, и справа - тоже. Осталось проверить, равны ли они.

Если же функции слева/справа многозначные, то что означает равенство? Слева стоит множество значений и справа - множество. Они равны как множества? Или имеют общий элемент? Вопросов будет больше, чем пользы от таких равенств.

Именно поэтому мне не нравится обозначение алгебраического корня через $%\sqrt{}$% в ТФКП. Оно нарушает общие правила обозначений. Например, $%\arcsin$% - функция, а $%Arcsin$% - многозначная функция. Но знак радикала не напишешь с большой буквы!

Пример. Пусть $%k(x)$% - алгебраический корень из x. Что будет решением уравнения $%k(x) + 1 = k(4)$%? Если подставить x = 1, то слева стоит множество $%\{0; 2\}$%, справа - множество $%\{-2; 2\}$%. Является ли $%x = 1$% корнем этого уравнения? Ведь одно из значений корня слева совпадает с одним из значений справа!

Собственно, и Ваше уравнение может служить примером. Если вы считаете, что $%\sqrt{1}=\pm 1$%, то левая часть при $%x = 1$% не равна правой, которая состоит (как множество) только из -1, но не содержит 1.
$%\pm1 \ne -1$%

Множество и число - разные объекты, их нельзя приравнивать. Это все равно, что сказать "треугольник равен 5". Площадь треугольника может равняться 5, а сам он - нет.

ссылка

отвечен 9 Окт '12 20:45

изменен 9 Окт '12 21:40

Давайте говорить только про действительные числа. Итак, знак радикала предполагает арифметический корень. Это было бы нормально, если была бы уверенность в том, что такая трактовка корня не приводит к утере каких-либо решений. Однако в приведенном мною примере как раз это и происходит: теряется корень, равный единице. Поэтому непонятно, чем же мы руководствуемся, игнорируя алгебраический корень: ведь его использование как раз гарантировало бы что мы ничего не потеряем!

(9 Окт '12 21:06) Карп

Комментарий оказался слишком большой, я его внесла в ответ.

(9 Окт '12 21:17) DocentI

Поставлю вопрос иначе. Предположим, я не знаю всякие математические тонкости, но зато знаю, как проверить, правильно ли я извлек корень: для этого надо всего лишь возвести в соответствующую степень результат. Если получится подкоренное выражение, то корень был извлечен верно, если нет, то неверно. Теперь вернемся к моему уравнению. Пусть я считаю, что икс, равный единице, есть решение уравнения. Проверяем: возводим минус единицу в правой части в квадрат и получаем единицу - ч.т.д. Что неверного в таком рассуждении?

(9 Окт '12 21:23) Карп

Неверно - незнание математических тонкостей. Вы просто вводите свое, "доморощенное" понятие радикала. Может, в Вашей "арифметике" решение будет верным, но в общепринятой - нет. Если хотите, стройте свою арифметику, но в ней могут появиться противоречия, о которых я говорила.

Помню, у нас на Совете докладывался человек, придумавший новое "деление", при котором все целые числа делятся друг на друга. И намекал, что в такой арифметике легко доказать теорему Ферма. Я ему пыталась объяснить, что это доказательство не будет иметь никакого отношения к истинной Теореме, но он так и не понял... ((

(9 Окт '12 21:46) DocentI

Есть понятия "необходимо" и "достаточно", это не одно и то же. Радикал $%x = \sqrt a$% является решением уравнения $%x^2 = a$%, но обратное неверно. У математиков. У Вас - не знаю...

То есть у Вас просто неправильный способ проверки того, что $%x = \sqrt a$%

(9 Окт '12 21:48) DocentI

В таком случае нет смысла вообще вводить понятие алгебраического корня. То есть надо просто определить корень как положительное число при извлечении корня четной степени и положительное или отрицательное при извлечении корня нечетной степени. То есть установить, что результат извлечения любого корня - только один.

(9 Окт '12 21:58) Карп

Не хотите - не вводите. Я, например, им практически не пользуюсь (в элементарной математике). Он больше нужен в ТФКП, где нет возможности выбрать главное значение корня.

(9 Окт '12 22:02) DocentI
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
0

В курсе школьной математики уравнения решаются в основном на множестве действительных чисел. В уравнениях символом $%\sqrt{x}$% обозначают арифметический квадратный корень (число неотрицательное), поэтому уравнение $%\sqrt{x}=-1$% решений не имеет. Не возникала в математике необходимость решать уравнений вида $%\sqrt[Alg(2)]{x}=-1$%. Если бы возникла, то решением данного уравнения было бы число $%1$%. Вам нужно собраться и усвоить в чем отличие понятий "алгебраически корень" и "арифметический корень"

ссылка

отвечен 9 Окт '12 17:30

изменен 9 Окт '12 18:06

Алгебраический корень в данном случае не выходит из области действительных чисел, поэтому вопрос остается. Давно уже собрался и усвоил... Одна беда: никто ясно объяснить не может, почему (хотя бы в данном случае)надо брать именно арифметический корень. Что же касается возникновения необходимости, то это не аргумент: математические выводы не могут зависеть от того, была у кого-то какая-то необходимость или нет. Насколько я могу судить, подавляющее большинство современных математических публикаций - это как раз и есть чистая математика без всякого приложения.

(9 Окт '12 17:44) Карп

Не хочется тратить поле на то, чтобы выразить мнение некомпетентного человека. Ваши требования довольно аргументированы (я с ними согласен: должен существовать алгоритм, согласно которому компьютер мог бы, не споткнувшись, определить, какой выбрать корень).@Anatoliy знает, как отделить зёрна от плевел,но ограничился требованием "усвоить чётко" оба понятия. Это не очень продуктивно. .Ю. хочет Вам помочь, но сам видит, что понятие слишком многозначно, чтобы создать нужный алгоритм. Примерно к этому же сводится мнение @DocentI. И я в растерянности: к какому берегу прибиться? А Вы, @Карп?

(11 Окт '12 20:28) nikolaykruzh...

@nikolaykruzh..., и где Вы нашли многозначность? Соглашение математиков совершенно четкое и и недвусмысленное. Не путайте, пожалуйста, автора вопроса.

(12 Окт '12 12:06) DocentI

"Проблема дефицита идентификаторов" и "значок радикала" ... "по сути такой же феномен" (. Ю.) - разве не об этом?А самому @Карп кое-что непонятно - разве не из нечёткого и двусмысленного соглашения математиков? Когда всё чётко и ясно, неясности бывают редко - да и то из-за недопонимания. А @Карп заявил, что он "Давно уже собрался и усвоил". Так что не мне его путать. Его сомнения имеют основания, и "...вопрос всё равно остаётся". Моя ошибка, что я и Вас причислил к лагерю колеблющихся, однако оказалось, что Вы, напротив, можете прояснить ему свою позицию, в чём я Вам и желаю успеха.

(12 Окт '12 22:01) nikolaykruzh...

Самое смешное, что автор вопроса что-то не спешит подключиться к дискуссии и объяснить, прояснилось ли понятие для него, или нет.

(13 Окт '12 0:04) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

На Ваш вопрос можно ответить вопросом - а что означает значок радикала в Вашем уравнении? Если он обозначает арифметический корень, то решений нет, если он означает второй (отрицательный) корень, то решение $%x=1$%, если он означает совокупность всех алгебраических корней, то Ваша запись - это не уравнение, а совокупность двух уравнений, одно из которых имеет решение, а второе нет.
Первый вариант используется в обычной арифметике, третий в ТФКП, второй не используется.
Обычно смысл значка радикала в конкретной записи ясен из контекста, хотя, по большому счету, его надо бы каждый раз оговаривать.

Дополнение (ответ на комментарий). Обычно считают, что это ясно из контекста, поэтому и не оговаривают. Вообще, в математике есть проблема дефицита идентификаторов, и часто один и тот же значок имеет несколько общепринятых значений. Например, $%i$% - это и индекс, и мнимая единица, $%z$% - это и 3-я декартова координата, и комплексное число и т.д. Да, значок радикала стоит несколько особняком, потому что его разные интерпретации близки по смыслу. Но все равно, это, по сути, такой же феномен.

ссылка

отвечен 10 Окт '12 1:14

изменен 10 Окт '12 22:38

Я тоже считаю, что надо оговаривать. Так не оговаривают же.

(10 Окт '12 9:03) Карп

$$4^{1/2} = +/-2$$ - это уравнение с арифметическими корнями
$$x^{1/2} = +/-a$$ - это уравнение с алгебраическими корнями
$$x^{1/2} = -a$$ - это ни то, ни другое. Досужий вымысел. Некорректный вопрос.

(10 Окт '12 23:52) nikolaykruzh...

@nikolaykruzh.., Вы не правы (это я стараюсь быть вежливой). В первом равенстве совсем нет x, какое же это уравнение?

Более того, сама запись $%\pm a$% является не совсем корректной (недаром против нее протестовал Галактион). По сути это множество, так что равенство $%x=\pm 2$% означает, что x пробегает множество $%\{-2; 2\}$%. Такая запись используется в ответе (множество решений уравнения).

В третьем примере никакого вымысла нет. Если a положительно, уравнение не имеет решения, если отрицательно или 0 - имеет единственное решение $%x = a^2$%

Кстати, "плюс-минус" обозначается \pm.

(11 Окт '12 0:30) DocentI

Кстати, радикал и степень - не совпадающие понятия. Например, корень 3 степени можно извлекать из отрицательного числа, а возводить в степень 1/3 - только неотрицательное число!

(11 Окт '12 0:37) DocentI

Спасибо Вам! Не устаю это повторять и делаю это с удовольствием. Я написал это полушутя, чтобы отличить алгебру от арифметики, не вникая в тонкости, которых всё равно не знаю, и мне приятна Ваша отзывчивость, на которую, откровенно говоря, я рассчитывал. Я ценю Вашу вежливость, потому что, будь на моём месте @Галактион, он получил бы по полной программе, и даже сверх того! Ещё раз - спасибО!

(11 Окт '12 9:02) nikolaykruzh...

Есть математические понятия, которые просто нужно знать. Подобные вопросы возникают по причине поверхностного знания математики. Если же "... из блохи кроить голенища...", то это другое дело (на любителя).

(11 Окт '12 13:22) Anatoliy

Давным давно, когда я в школе познакомился с понятием корня, у меня возникли вопросы, очень похожие на те, которые сейчас задает молодой человек. Поэтому я и пытаюсь сейчас на них обстоятельно ответить.

(11 Окт '12 18:39) Андрей Юрьевич

Успехов Вам, Андрей Юрьевич! Но, ведь уже достаточно пояснений по этому вопросу. Если взять хороший учебник по математике для средней школы, то там все четко прописано о корне $%n$%-й степени для школьников (см., например, уч.алгебры для 9кл., авт. Макарычев, 2000г.).

(11 Окт '12 19:55) Anatoliy
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,765

задан
9 Окт '12 12:39

показан
1760 раз

обновлен
13 Окт '12 0:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru