alt text

задан 7 Фев '16 23:05

10|600 символов нужно символов осталось
1

Понижаем степень: $%4( \frac{1+cos2x}{2}) ^{2}=cos2x+(1+cos2x)cos8x $%

$%1+2cos2x+ cos^{2}x =cos2x+(1+cos2x)cos8x $%

$%1+cos2x+ cos^{2}x =(1+cos2x)cos8x $%

$%1+cos2x-(1+cos2x)cos8x+ cos^{2}x=0$%

$%(1+cos2x)(1-cos8x)+ cos^{2}x=0$%

$%(1+2 cos^{2}x-1)(1-1+2 sin^{2}4x) + cos^{2}x=0$%

$%4 sin^{2}4x\cdot cos^{2}x+ cos^{2}x=0$%

$%16 sin^{2}2x\cdot cos^{2}2x\cdot cos^{2}x + cos^{2}x=0$%

$% cos^{2}2x(16 sin^{2}2xcos^{2} x+1)=0$%

$% cos^{2} 2x=0$%

$%2x= \frac{ \pi }{2}+ \pi n$%

$%x= \frac{ \pi }{4} + \frac{ \pi n}{2} $%

$% (16 sin^{2}2xcos^{2} x+1)=0$% - нет решений, т.к. сумма неотрицательного и положительного числа не может равняться нулю.

Ответ: $%x= \frac{ \pi }{4} + \frac{ \pi n}{2} $%

ссылка

отвечен 7 Фев '16 23:51

изменен 7 Фев '16 23:51

10|600 символов нужно символов осталось
0

Положим $%y=\cos2x$%. Тогда $%4\cos^2x=(2\cos^2x)^2=(1+y)^2=y^2+2y+1$%. Далее, $%\cos4x=2\cos^22x-1=2y^2-1$%, и $%\cos8x=2\cos^24x-1=2(2y^2-1)^2-1=8y^4-8y^2+1$%. Поэтому $%2\cos^2x\cos8x=(y+1)(8y^4-8y^2+1)=8y^5+8y^4-8y^3-8y^2+y+1$%.

Уравнение приобретает вид $%y^2+2y+1=y+8y^5+8y^4-8y^3-8y^2+y+1$%, то есть $%y^2(8y^3+8y^2-8y-9)=0$%. Получается серия решений $%\cos2x=0$%, то есть $%x=\frac{\pi}4+\frac{\pi k}2$%, где $%k$% целое.

Что касается остальных решений, то их нет, потому что при $%y\in[-1;1]$% кубический многочлен $%8y^3+8y^2-8y-9=8(y-1)(y+1)^2-1\le-1$% нигде не обращается в ноль.

ссылка

отвечен 7 Фев '16 23:54

Недолго музыка играла( я про комментарии ). Или только у меня не играет?

(7 Фев '16 23:56) epimkin

@epimkin: у меня тоже сейчас "не играет". Видимо, "караул устал" (с) :)

(7 Фев '16 23:57) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,785
×940

задан
7 Фев '16 23:05

показан
524 раза

обновлен
7 Фев '16 23:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru