|
Понижаем степень: $%4( \frac{1+cos2x}{2}) ^{2}=cos2x+(1+cos2x)cos8x $% $%1+2cos2x+ cos^{2}x =cos2x+(1+cos2x)cos8x $% $%1+cos2x+ cos^{2}x =(1+cos2x)cos8x $% $%1+cos2x-(1+cos2x)cos8x+ cos^{2}x=0$% $%(1+cos2x)(1-cos8x)+ cos^{2}x=0$% $%(1+2 cos^{2}x-1)(1-1+2 sin^{2}4x) + cos^{2}x=0$% $%4 sin^{2}4x\cdot cos^{2}x+ cos^{2}x=0$% $%16 sin^{2}2x\cdot cos^{2}2x\cdot cos^{2}x + cos^{2}x=0$% $% cos^{2}2x(16 sin^{2}2xcos^{2} x+1)=0$% $% cos^{2} 2x=0$% $%2x= \frac{ \pi }{2}+ \pi n$% $%x= \frac{ \pi }{4} + \frac{ \pi n}{2} $% $% (16 sin^{2}2xcos^{2} x+1)=0$% - нет решений, т.к. сумма неотрицательного и положительного числа не может равняться нулю. Ответ: $%x= \frac{ \pi }{4} + \frac{ \pi n}{2} $% отвечен 7 Фев '16 23:51 
serg55 |
|
Положим $%y=\cos2x$%. Тогда $%4\cos^2x=(2\cos^2x)^2=(1+y)^2=y^2+2y+1$%. Далее, $%\cos4x=2\cos^22x-1=2y^2-1$%, и $%\cos8x=2\cos^24x-1=2(2y^2-1)^2-1=8y^4-8y^2+1$%. Поэтому $%2\cos^2x\cos8x=(y+1)(8y^4-8y^2+1)=8y^5+8y^4-8y^3-8y^2+y+1$%. Уравнение приобретает вид $%y^2+2y+1=y+8y^5+8y^4-8y^3-8y^2+y+1$%, то есть $%y^2(8y^3+8y^2-8y-9)=0$%. Получается серия решений $%\cos2x=0$%, то есть $%x=\frac{\pi}4+\frac{\pi k}2$%, где $%k$% целое. Что касается остальных решений, то их нет, потому что при $%y\in[-1;1]$% кубический многочлен $%8y^3+8y^2-8y-9=8(y-1)(y+1)^2-1\le-1$% нигде не обращается в ноль. отвечен 7 Фев '16 23:54 
falcao |