В кольце многочленов Q[x] взяли многочлен f(x):= x^3-3x+1 и по нему построили фактор-кольцо. Нужно доказать что это фактор-кольцо - поле, и определить группу его автоморфизмов.

задан 8 Фев '16 19:04

изменен 8 Фев '16 19:04

10|600 символов нужно символов осталось
1

Многочлен $%f(x)=x^3-3x+1$% не имеет рациональных корней. Действительно, если бы рациональная дробь, записанная в несократимой форме, являлась корнем этого многочлена, то, согласно известной теореме, числитель был бы делителем свободного члена, а знаменатель -- делителем старшего члена. Получаются числа $%\pm1$%; ни одно из них не подходит в качестве корня.

Если бы многочлен был приводим над $%\mathbb Q$%, то он представлялся бы как произведение многочленов степени 1 и 2, а у такого многочлена всегда есть корни в основном поле. Следовательно, многочлен неприводим. Тогда, согласно известному факту из курса алгебры, факторкольцо по главному идеалу многочлена $%f(x)$% является полем. Обозначим $%P=\mathbb Q[x]/(f(x))$%. Иными словами, перед нами простое алгебраическое расширение поля рациональных чисел.

Строение такого факторкольца можно описать в явном виде. Два многочлена из $%\mathbb Q[x]$% представляют собой один и тот же элемент факторкольца тогда и только тогда, когда их разность делится на $%f(x)$%. Поэтому элементами факторкольца можно считать остатки от деления на $%f(x)$%, а это все многочлены степени не выше двух. Их сложение осуществляется обычным образом, а при умножении мы сначала умножаем два элемента, а потом берём остаток произведения от деления на $%f(x)$%.

Пусть $%\alpha$% -- любой из трёх корней многочлена $%f(x)$%. Нетрудно проверить, что все эти корни действительны, хотя само по себе это утверждение мы использовать не будем. Существенно здесь то, что неприводимый над $%\mathbb Q[x]$% многочлен не имеет кратных корней. При любом выборе корня мы получим, что поле $%\mathbb Q(\alpha)$% как подполе в $%\mathbb C$% (а в данном случае и в $%\mathbb R$%) изоморфно $%P$%. Всякий автоморфизм такого поля однозначно определяется образом элемента $%\alpha$%, а корень может переходить только в корень того же многочлена с рациональными коэффициентами. Поэтому автоморфизмов имеется не более трёх. Из общих фактов (см. учебник Кострикина в том месте, где речь идёт о полях разложения) следует, что в данном случае их ровно три (поскольку кратных корней нет).

Таким образом, группа автоморфизмов факторкольца циклическая порядка 3, то есть $%{\rm Aut}\mathbb Q[x]/(f(x))\cong\mathbb Z_3$%.

Можно проверить (хотя эта детальная информация здесь не нужна), что нетождественные автоморфизмы поля задаются правилами $%\alpha\mapsto2-\alpha-\alpha^2$% и $%\alpha\mapsto-2+\alpha^2$%.

ссылка

отвечен 8 Фев '16 21:44

изменен 8 Фев '16 21:49

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×864
×361
×100
×43
×32

задан
8 Фев '16 19:04

показан
662 раза

обновлен
8 Фев '16 21:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru