алгебра - Доказательство методом математической индукции

Можно ли доказать методом математической индукции неравенства:

$$ ab + ac + bc \le a^2 + b^2 + c^2$$ $$ ba^n+ab^n \le a^{n+1}+b^{n+1}$$ a,b>0. n-натуральное число

доказательства алгебра

задан 10 Окт '12 21:29

Женя
43●2●5●16
100% принятых

При

$$a=-1,b=-2,n=2$$

второе неравенство не выполняется. Может там есть ограничение?

$$a,b\in R+$$

(10 Окт '12 22:44) ASailyan

a,b>0. n - натуральное. это для обоих нер-в

(11 Окт '12 1:04) Женя

1 ответ

А почему методом математической индукции? Ведь неравенство не зависит от натурального переменного. Лучше составить разность двух частей: $% a^2+b^2+c^2-(ab+ac+bc)=\frac{1}{2}(2a^2+2b^2+2c^2-(2ab+2ac+2bc))=$% $%=\frac{1}{2}((a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2)\ge0,$% при любих $% a,b,c\in R.$% Значит $% ab+ac+bc\le a^2+b^2+c^2м,$% при любих $%a,b,c\in R.$%
$% a^{n+1}+b^{n+1}-(ba^n+ab^n)=a^n(a-b)-b^n(a-b)=(a-b)(a^n-b^n)\ge0,$% при любих $%a,b\in R_+, n\in N .$%

ссылка

отвечен 10 Окт '12 21:39

ASailyan
15.8k●1●15●35

Ок. а как насчет этого: $%ba^n+ab^n<=a^{n+1}+b^{n+1}$% ?

(10 Окт '12 22:02) Женя

А по мат. индукции нельзя доказать?

(10 Окт '12 23:03) Женя

Второе можно.Если $%a\ge0,b\ge0$%

(10 Окт '12 23:13) ASailyan

можете написать как? a и b > 0 по условию

(10 Окт '12 23:18) Женя

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

задан
10 Окт '12 21:29

показан
1741 раз

обновлен
11 Окт '12 23:14

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии