|
В ряд выписаны числа от 1 до 2011 в порядке возрастания. Можно ли между ними расставить знаки + и – так, чтобы значение полученного выражения было точным квадратом натурального числа? задан 9 Фев '16 20:13 
Антон Коваль |
|
Переформулируем задачу без использования кучи чисел. Может ли $%a-b$% быть квадратом, если $%a+b=2011\cdot1006$%. Делая подстановку упрощаем до: может ли $%2a-2011\cdot1006$% быть квадратом? Проверяя четные и нечетные а, убеждаемся что не может. отвечен 9 Фев '16 20:31 
abc |
|
Если в такого рода задачах получается отрицательный ответ, то это обычно можно усмотреть через остатки от деления на некоторое число (типа 3, 4 или 5). Здесь же ответ положителен, и примеры можно строить очень многими способами. Скажем, можно оставить первую единицу, а остальные числа разбить на пары последовательных. Каждая такая пара может дать $%\pm1$% за счёт подходящего выбора знаков. Получается $%1\pm1\pm1\pm\cdots\pm1$%, и таким способом легко получить, например, сумму 4, беря в начале 1+1+1+1, а в оставшихся 1002 слагаемых чередуя 1 и -1. Чтобы было нагляднее: $%4=1-2+3-4+5-6+7+\sum\limits_{k=0}^{500}(4k+4-(4k+5)-(4k+6)+4k+7)$%. отвечен 9 Фев '16 20:34 
falcao |