Перебором ответы получаются 9,10,11, но непонятно как решать саму систему.

задан 9 Фев '16 21:05

перемечен 9 Фев '16 21:34

Trumba's gravatar image


74118

10|600 символов нужно символов осталось
1

Умножим первое уравнение на 6. Получится $%2a+3b+12c=180$%. Отсюда видно, что $%a$% кратно 3, а $%b$% кратно 2, то есть дробные выражения в первом уравнении принимают натуральные значения. Положим $%a=3k$%, $%b=2m$% для некоторых натуральных $%k,m$%, и тогда система уравнений примет вид $%k+m+2c=30$%, $%3k+2m+c=30$%. Из этого следует, что $%2k+m=c$% (вычли одно из другого). Подставляя во второе уравнение, приходим к равенству $%5k+3m=30$%. Отсюда $%k$% кратно 3, и $%m$% кратно 5. Полагаем $%k=3x$%, $%m=5y$%, и сокращаем на 15. Это даёт $%x+y=2$%, то есть $%x=y=1$%. Следовательно, $%a=9$%, $%b=10$%, $%c=11$%. Эти числа подходят.

ссылка

отвечен 9 Фев '16 21:25

@pavel1076: а что тут непонятного? Числа 3 и 30 кратны 3, то есть 5k кратно 3. Это даёт, что k кратно 3 (так как k=6k-5k). Второе -- аналогично: из того, что 3m кратно 5, следует, что 6m кратно 5, и тогда m кратно 5. Можно вместо этого сразу использовать свойства взаимно простых чисел.

(9 Фев '16 21:38) falcao

я запутываюсь в этих местах... не знаю почему, я вообще сначала подумал, a/6+b/4+c=15, значит a кратно 6, b кратно 4, но потом ничего не вышло..потому что только действительные числа получаются как ответы.

(9 Фев '16 21:48) pavel1076

@pavel1076: если мы смотрим на исходное уравнение a/3+b/2+2c=30, то сразу нельзя делать вывод, что слагаемые целочисленны, так как в принципе, сумма дробных величин может быть целым числом (скажем, 1/2+1/3+1/6). Поэтому я произвёл домножение, чтобы требуемый вывод стал очевиден.

(9 Фев '16 22:01) falcao

Аа, теперь понял. Спасибо большое! Я, как-то невнимателем ко всем этим вещам, мало таких задач решал. Пытаюсь научиться решать уравнения.

(9 Фев '16 22:07) pavel1076

@falcao а вы не знаете по каким книжкам лучше заниматься? или лучше просто решать много всего и спрашивать, что непонятно? просто во многих книжках объяснено все самое простое, а в упражнениях намного сложнее всё. я не знаю как избавиться от этой невнимательности, например я недавно пытался доказать, почему число вида xyzxyz (x,y,z - цифры) делится на 7,11,13. Долго думал, а потом в интернете посмотрел, оказывается 7x11x13=1001 и сразу стало всё понятно, но ко мне эта мысль не пришла..

(9 Фев '16 22:15) pavel1076

@pavel1076: полезно делать и то, и другое. Лиетратуры очень много, и тут надо самому выбирать то, чтение чего приносит непосредственную пользу. Я бы мог назвать книги, изданные МЦНМО. Все они высокого качества, и они есть в Сети в открытом доступе. Кроме того, есть журнал "Квант" (там всё оцифровано, начиная с 1970 года). Есть серия "Популярные лекции по математике", и много всего остального. Если не гнаться сразу за всем, а читать и усваивать то, что доступно и понятно, то это самый удачный способ.

(9 Фев '16 22:27) falcao

Спасибо большое еще раз! Так же очень хорошо, что есть сайт с людьми, которые разбираются.

(9 Фев '16 22:33) pavel1076
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
0

Понятно, что системы такого рода задают в некотором $%n$%-мерном пространстве целочисленную решетку и в итоге, чтобы выписать все ответы, надо ее просто перебрать. Для этого можно лишь упростить то, что дано, а дальше уже только перебор, либо параметризация.

Общие принципы упрощения таких систем следующие:

1) Проверить, можно ли вывести, что какая-то переменная делится на какое-то число. Если да, то выводим, подставляем, упрощаем.

2) Выразить одну переменную из одного уравнения и подставить в другое. В результате получим на одно уравнение меньше + неравенство + м.б. еще одно сравнение по конкретному модулю.

3) Проверить, принимает ли какая-то переменная очень малое число значений (0,1 или 2). Если да, то элиминировать переменную и решать дальше.

4) Если решений нет вообще или в каких-то случаях, то это можно пытаться доказывать через неравенства, которые можно извлекать из уравнений.

ссылка

отвечен 9 Фев '16 21:34

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,019
×281
×130
×112

задан
9 Фев '16 21:05

показан
599 раз

обновлен
9 Фев '16 22:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru