Здравствуйте!

В данный момент пытаюсь осознать доказательство следующего (очевидного) утверждения:

Дифференцируемые в промежутке $% X $% функции $% F(x) $% и $% G(x) $% будут в этом промежутке первообразными одной и той же функции $% f(x) $% тогда и только тогда, когда разность их значений $% \forall x \in X $% есть величина постоянная:

$$ F(x)-G(x)=C=const $$

Доказательство, приведенное в учебнике:

Если $% F(X) $% - некоторая первообразная функции $% f(x) $% в промежутке $% X $%, то, согласно определению (первообразной), $% F'(x)=f(x) \ \forall x \in X $%. Но тогда и функция $% G(x) = F(x)-C \ (C = const) $% также является первообразной функции $% f(x) $% в этом промежутке, поскольку $% G'(x)=F'(x)=f(x) \ \forall x \in X $%. Обозначим $% F(x) - G(x) = \phi(x) $% и найдем производную этой функции: $$ \phi'(x)=(F(x)-G(x))'=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0 $$ Но в силу признака постоянства дифференцируемой функции, вытекающего из теоремы Лагранжа, равенство $% \phi'(x)=0 $% означает, что $% \phi(x)=F(x)-G(x)=C=const \ \forall x \in X $%. Итак, доказана эквивалентность $% F(x)-G(x)=C=const $% тому, что функции $% F(x) $% и $% G(x) $% могут быть первообразными лишь одной и той же функции.

У меня возникла пара вопросов.

  1. В формулировке теоремы присутствует функция $% G(x) $%, однако совсем не обязательно, что $% G(x) = F(x)-C $%. Если все же принять $% G(x)=F(x)-C $%, то мы только докажем необходимость, но отнюдь не достаточность. А что если существует такая $% G(x) \neq F(x)-C $%, но являющаяся первообразной $% f(x) $%? Ее отсутствие не было доказано.
  2. По поводу следствия из теоремы Лагранжа. Насколько я понял, речь идет о следующем следствии: "Дифференцируемая на отрезке функция с производной, равной нулю, есть константа." Но это следствие, как и сама теорема Лагранжа, справедливо только для функций, непрерывных на отрезке. В определении первообразной же фигурирует промежуток, который, вообще говоря, может быть и интервалом. Как быть? (Может я не то следствие нашел?)

задан 10 Фев '16 9:39

@CMTV: утверждение теоремы имеет вид "тогда и только тогда". Поэтому сначала рассматривается доказательство в "лёгкую" сторону -- если F и G отличаются на константу, то их производные равны. Это очевидно. Далее G считается произвольной, и берётся разность ф=F-G. Её производная равна нулю. И далее доказывается, что ф константа. Это следствие из теоремы Лагранжа. Непрерывность есть, так как это следствие дифференцируемости. Что касается отрезка, то он возникает так: предположим, что ф(x1) не равно ф(x2), где x1 < x2. Тогда применяем теорему Лагранжа к функции на отрезке [x1,x2].

(10 Фев '16 12:20) falcao

@falcao: Спасибо. Я просто не так понял логических смысл слов "но тогда и функция ...", а также "Обозначим ..." (с них начинаются две разных логических цепочки). Не очень четко в теореме разобрал по факту два разных доказательства.

(10 Фев '16 19:06) CMTV

@falcao: Правильно ли я понял, что мы берем точки x1 и x2 из промежутка X?

(10 Фев '16 19:19) CMTV

@CMTV: в тексте доказательства надо было как минимум начать новое рассуждение с нового абзаца. А то действительно оно как-то не смотрится. Или ещё иногда ставят сначала значок => (в одну сторону), а потом <= (в другую сторону). И идут отдельные рассуждения в тех же обозначениях.

Тут основная "тяжесть" ложится на следствие. Оно изучалось раньше, и на него можно просто ссылаться, но полезно напомнить суть рассуждения. От противного: предположим, что ф не постоянна на X, тогда существуют две различные точки из X, в которых значения ф не равны. Тогда x1 < x2, и ф'(\xi)=(ф(x2)-ф(x1))/(x2-x1)<>0.

(10 Фев '16 22:21) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,162
×262
×9

задан
10 Фев '16 9:39

показан
232 раза

обновлен
10 Фев '16 22:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru