Добрый день! Задача звучит так: пусть $%R$% - алгебра над полем $%F$%, $%char F = p$%. $%D$% - дифференцирование алгебры $%R$%. Доказать, что $%D^p$% - дифференцирование $%R$%.

задан 10 Фев '16 12:27

10|600 символов нужно символов осталось
1

По определению дифференцирования, $%D(ab)=D(a)b+aD(b)$% для любых элементов алгебры $%a,b\in R$%. Тогда $%D^2(ab)=D(D(a)b)+D(aD(b))=D^2(a)b+2D(a)D(b)+D^2(b)$%. Далее по индукции нетрудно доказать, что при любом натуральном $%n$% будет иметь место тождество $%D^n(ab)=D^n(a)b+C_n^1D^{n-1}(a)D(b)+\cdots+C_n^kD^{n-k}(a)D^k(b)+\cdots+aD^{n}(b)$%.

При $%n=p$% все числа в середине вида $%C_p^k=\frac{p!}{k!(p-k)!}$% будут равны нулю по модулю $%p$% при $%1\le k\le p-1$%, так как простой множитель $%p$% в числителе ни с чем не сократится в знаменателе. Тем самым, $%D^p(ab)=D^p(a)b+aD^p(b)$%, то есть $%D^p$% будет дифференцированием алгебры $%R$%.

ссылка

отвечен 11 Фев '16 4:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×341
×89

задан
10 Фев '16 12:27

показан
267 раз

обновлен
11 Фев '16 4:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru