|
Прошу помощи в решении задачи. При каких $%n$% кольцо вычетов $%\mathbb{Z}_n$% вполне приводимо слева (справа)? При каких $% f ∈ \mathbb{F}[x]$%, $%\mathbb{F}$% - поле, вполне приводимо кольцо кольцо $% \mathbb{F}[x]/(f) $%? задан 11 Фев '16 18:05 
alf |
|
Наверное, достаточно будет следующего рассуждения. Пусть $%n=p_1^{k_1}\ldots p_r^{k_r}$% -- каноническое разложение. Тогда $%\mathbb Z_n$% изоморфно прямой сумме колец $%\bigoplus\limits_i\mathbb Z_{p_i^{k_i}}$%. Если все показатели степени равны 1, то есть $%k_1=\cdots=k_r=1$% (когда $%n$% не делится на квадрат простого числа), то получается прямая сумма полей, то есть полупростое кольцо. Если для некоторого $%i$% имеет место неравенство $%k_i\ge2$%, то кольцо обладает нетривиальным нильпотентным элементом. Легко видеть, что прямая сумма полей таким элементом обладать не может, откуда следует обратное утверждение. Для многочленов всё аналогично: раскладываем $%f(x)$% в произведение неприводимых сомножителей. Если среди них нет кратных, то получится прямая сумма полей вида $%\mathbb F[x]/(f_i(x))$%, где $%f_i(x)$% неприводимы над $%\mathbb F$%. Если же есть кратные множители, то, как и выше, в кольце появляются ненулевые нильпотентные элементы. отвечен 11 Фев '16 19:44 
falcao |
Ответы здесь будут такие: n должно быть произведением попарно различных простых чисел (то есть оно не делится на квадрат простого числа). Аналогично, f не должен иметь кратных корней. Для того, чтобы изложить решение, нужно уточнить, какое определение полупростого (=вполне приводимого) кольца берётся за основу, и какими свойствами таких колец можно пользоваться в доказательстве. Как правило, здесь могут быть использованы разные (эквивалентные друг другу) определения, поэтому нужно знать, в какой форме они давались.
Модуль называется вполне приводимым, если он разложим в конечную прямую сумму своих минимальных подмодулей. Ассоциативное кольцо называется вполне приводимым слева (справа), если оно является вполне приводимым левым (правым) модулем над собой.
@alf: помимо определений, я спрашивал ещё о свойствах, которые могли доказываться, и которыми можно пользоваться.