математический-анализ - Доказать методом математической индукции.

1. Рассмотрим логическое выражение $%P(n)=ba^n+ab^n\le a^{n+1}+b^{n+1}$%.

1) $%n=1$%; $%P(1)=ba+ab\le a^2+b^2\Leftrightarrow(a-b)^2\ge0 $% -верно.

2) Считаем, что $%P(n)=ba^n+ab^n\le a^{n+1}+b^{n+1}$% - верно.

3) $%P(n+1)=ba^{n+1}+ab^{n+1}\le a^{n+2}+b^{n+2}$%;

$%ba^{n+1}+ab^{n+1}=(a+b)(ba^n+ab^n)-a^2b^n-b^2a^n\le(a+b)(a^{n+1}+b^{n+1})-a^2b^n-b^2a^n=$%$$=a^{n+2}+b^{n+2}+ba^{n+1}+ab^{n+1}-a^2b^n-b^2a^n=a^{n+2}+b^{n+2}+a^2b(a^{n-1}-b^{n-1})-$$

$%-b^2a(b^{n-1}-a^{n-1})=a^{n+2}+b^{n+2}-ab(a-b)(a^{n-1}-b^{n-1})\le a^{n+2}+b^{n+2}$%, $%P(n+1)$% -верно.

Неравенство верно при любых $%n$%.

2. Рассмотрим логическое выражение $%P(n)=(a+b)^{n}\le 2^{n-1}(a^{n}+b^{n})$%.

1) $%n=1$%; $%P(1)=(a+b)\le(a+b) $% -верно.

2) Считаем, что $%P(n)=(a+b)^{n}\le 2^{n-1}(a^{n}+b^{n})$% - верно.

3) $%P(n+1)=(a+b)^{n+1}\le 2^{n}(a^{n+1}+b^{n+1})$%;

$%(a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^{n}\le(a+b)2^{n-1}(a^{n}+b^{n})=2^{n-1}(a^{n+1}+b^{n+1}+ab^{n}+ba^{n})=$%

$%=2^{n-1}(a^{n+1}+b^{n+1}+a^{n+1}+b^{n+1}-a^{n+1}-b^{n+1}+ab^{n}+ba^{n})=$%,

$%2^{n-1}(2(a^{n+1}+b^{n+1})-a(a^{n}-b^{n})+b(a^{n}-b^{n}))=$% $%=2^{n-1}(2(a^{n+1}+b^{n+1})-(a-b)(a^{n}-b^{n}))\le2^{n-1}2(a^{n+1}+b^{n+1})\le2^{n}(a^{n+1}+b^{n+1}),$% $%P(n+1)$% -верно.

Неравенство верно при любых $%n$%.