1) $%b\cdot a^n+a\cdot b^n\le a^{n+1}+b^{n+1}$%;

2) $%(a + b)^n\le(2^{n-1})\cdot(a^n + b^n)$%;

$%a,b>0, n-$%натуральное число.

задан 11 Окт '12 20:14

изменен 12 Окт '12 10:39

Anatoliy's gravatar image


12.8k640

Вы же уже задавали первый вопрос.

(12 Окт '12 12:11) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

1. Рассмотрим логическое выражение $%P(n)=ba^n+ab^n\le a^{n+1}+b^{n+1}$%.

1) $%n=1$%; $%P(1)=ba+ab\le a^2+b^2\Leftrightarrow(a-b)^2\ge0 $% -верно.

2) Считаем, что $%P(n)=ba^n+ab^n\le a^{n+1}+b^{n+1}$% - верно.

3) $%P(n+1)=ba^{n+1}+ab^{n+1}\le a^{n+2}+b^{n+2}$%;

$%ba^{n+1}+ab^{n+1}=(a+b)(ba^n+ab^n)-a^2b^n-b^2a^n\le(a+b)(a^{n+1}+b^{n+1})-a^2b^n-b^2a^n=$%$$=a^{n+2}+b^{n+2}+ba^{n+1}+ab^{n+1}-a^2b^n-b^2a^n=a^{n+2}+b^{n+2}+a^2b(a^{n-1}-b^{n-1})-$$

$%-b^2a(b^{n-1}-a^{n-1})=a^{n+2}+b^{n+2}-ab(a-b)(a^{n-1}-b^{n-1})\le a^{n+2}+b^{n+2}$%, $%P(n+1)$% -верно.

Неравенство верно при любых $%n$%.

2. Рассмотрим логическое выражение $%P(n)=(a+b)^{n}\le 2^{n-1}(a^{n}+b^{n})$%.

1) $%n=1$%; $%P(1)=(a+b)\le(a+b) $% -верно.

2) Считаем, что $%P(n)=(a+b)^{n}\le 2^{n-1}(a^{n}+b^{n})$% - верно.

3) $%P(n+1)=(a+b)^{n+1}\le 2^{n}(a^{n+1}+b^{n+1})$%;

$%(a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^{n}\le(a+b)2^{n-1}(a^{n}+b^{n})=2^{n-1}(a^{n+1}+b^{n+1}+ab^{n}+ba^{n})=$%

$%=2^{n-1}(a^{n+1}+b^{n+1}+a^{n+1}+b^{n+1}-a^{n+1}-b^{n+1}+ab^{n}+ba^{n})=$%,

$%2^{n-1}(2(a^{n+1}+b^{n+1})-a(a^{n}-b^{n})+b(a^{n}-b^{n}))=$% $%=2^{n-1}(2(a^{n+1}+b^{n+1})-(a-b)(a^{n}-b^{n}))\le2^{n-1}2(a^{n+1}+b^{n+1})\le2^{n}(a^{n+1}+b^{n+1}),$% $%P(n+1)$% -верно.

Неравенство верно при любых $%n$%.

ссылка

отвечен 12 Окт '12 13:57

изменен 12 Окт '12 15:36

Спасибо за помощь!

(12 Окт '12 19:52) Женя
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,645

задан
11 Окт '12 20:14

показан
1137 раз

обновлен
12 Окт '12 19:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru