|
Построить пирамиду с вершинами А (2; 0; 0), B (0; 3; 0), C (0; 0; 6), D (2; 3; 8). Вычислить её объем и высоту, опущенную на грань ABC. задан 11 Окт '12 20:15 
Badgal Mari |
|
Вычислим координаты векторов $%AB=(-2;3;0)$%, $%AC=(-2;0;6)$%, $%AD=(0;3;8)$%. Векторное произведение векторов $%АВхАС=(18;12;6)=6(3;2;1)$%, тогда площадь параллелограмма, построенного на $%AB$% и $%AC$% есть модуль этого вектора, т.е. $%6x14^{0,5}$%, откуда площадь треугольника $%ABC$% (половина) есть $%3x14^{0,5}$%. Смешанное произведение векторов $%AB$%, $%AC$%, $%AD$% даст объем параллелепипеда, построенного на этих векторах: $%ABхACхAD=6(3;2;1)*(0;3;8)=6x14$%. Тогда объем пирамиды есть 1/6 этого смешанного произведения, т.е. $%V=14$%. Поскольку объем пирамиды равен 1/3 площади основания на высоту, то высота равна $%h=3V/S=3x14/(3x14^0,5)=14^{0,5}$%. отвечен 11 Окт '12 23:08 
Lyudmyla |
|
Вам нужно найти модуль смешанного произведения векторов АВ,АС,АД (формулу найдете в любом учебнике по аналитической геометрии). Поделите результат на 6. Получите объем пирамиды. Площадь основания пирамиды равна одной второй модуля векторного произведения векторов АВ и АС (формулу найдете в том же учебнике). Высоту пирамиды найдете, умножив объем на 3 и поделив полученный результат на площадь основания. Что касается изображения пирамиды, то нарисуйте прямоугольную систему координат, отметьте на ней точки А,В,С,Д и соедините их отрезками (некоторые из них будут пунктирными). отвечен 11 Окт '12 22:53 
Anatoliy |
|
Зададим плоскость $%ABC$% в виде $%ax+by+cz+d=0$%. Имеем $%\left\{\begin{array}{rcl} 2a+d=0\\3b+d=0\\6c+d=0\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{rcl} a=-\frac{d}{2}\\b=-\frac{d}{3}\\c=-\frac{d}{6}\end{array}\right.$% Имеем при $%d=-6 : 3x+2y+z-6=0$% Значит , высота, равная $%\rho(D,ABC)=\frac{|3\times2+2\times3+8-6|}{\sqrt{9+4+1}}=\sqrt{14}$% Площадь $%ABC$% по теореме косинусов для тетраэдра $%OABC$% равна $%\sqrt{S^2_{OAB}+S^2_{OAC}+S^2_{OCB}}=\sqrt{9+36+81}=\sqrt{126}$% Значит, объем равен $%\frac{\sqrt{14}\sqrt{126}}{3}=14$% отвечен 11 Окт '12 22:08 
dmg3 |