Как найти все значения параметров а, b, при которых система имеет единственное решение.

$$\begin{cases} xyz+z=a\\ xyz^2+z=b\\ x^2+y^2+z^2=4 \end{cases}$$

Можно ввести замену, $%xy=f$%, $%x+y=s$%, а дальше я не знаю, что делать. (((

задан 11 Янв '12 19:19

изменен 11 Янв '12 20:00

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$\begin{cases} xyz+z=a\\ xyz^2+z=b\\ x^2+y^2+z^2=4 \end{cases}$$ Находим условия для постоянных a, b, котроые вытекают из единственности решения системы. Пусть $$(x,y,z)$$- некоторое решение этой системы. Тогда тройка чисел $$(-x,-y,z)$$ также является решением, что проверяется прямой подстановкой этих чисел в уравнения. Из единствености вытекает равенство$$(x,y,z)=(-x,-y,z) \Rightarrow x=0, y=0$$.Перепишем систему $$\begin{cases}z=a\\z=b\\z^2=4 \end{cases}$$. Отсюда a=b, а также a^2=4. Итак, $$a=b; a=b=\pm 2$$ Это была необходимость. Переходим к достаточности этих условий. Пусть $$a=b=2$$. Из первых двух уравнений получим $$z^2-(a+1)z+b=0 \Rightarrow z^2-3z+2=0$$. Корни $$z=1, z=2$$. Находим решения системы, для которых z=1,$$\begin{cases} xyz+z=a\\ xyz^2+z=b\\ x^2+y^2+z^2=4 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} xy=1\\ xy=1\\ x^2+y^2=3 \end{cases}$$ У этой системы четыре решения ( пересечение окружности с гиперболой) Вывод. При a=2 система не имеет единственного решения. Осталось также проверить случай a=-2. Там также получим z=1 и такую же систему.Ответ. При всех значениях констант a,b система не может иметь единственное решение. Удачи!

ссылка

отвечен 12 Янв '12 14:03

изменен 12 Янв '12 17:07

10|600 символов нужно символов осталось
2

В первом уравнении выражаем $%xyz=a-z$%, а во втором выносим $%z$% за скобки (получается $%z(xyz+1)=b$%). Подставляем $%a-z$% вместо $%xyz$% во второе уравнение, получается $%z(a-z+1)=b$%. Раскрываем скобки, переносим все в одну сторону, преобразовываем, получается $%z^2-(a+1)z+b=0$%. Остается два уравнения: $$\left\{\begin{array}{l}z^2-(a+1)z+b=0\\x^2+y^2+z^2=4\end{array}\right.$$ В первом уравнении единственное решение получается, когда его дискриминант равен 0, т.е. когда $$D=(a+1)^2-4b=0$$ $$(a+1)^2=4b$$ Во втором уравнении единственное решение получается, если одна из переменных равна 2 (или -2). Т.о. нужно чтобы z=2 или -2: $$Z=\frac{-b\pm D}{2a}=\pm2$$ Т.к. D у нас равен 0, то: $$\frac{-b}{2a}=\pm2$$

Итого, чтобы получить единственное решение, нужно чтобы a и b удовлетворяли следующей системе уравнений: $$\left\{\begin{array}{l}(a+1)^2=4b\\b=\pm4a\end{array}\right.$$ Решаем с минусом: $$b=-4a$$ $$(a+1)^2=-16a$$ $$a^2+2a+1+16a=0$$ $$a^2+18a+1=0$$ $$D=18^2-4*1=320$$ $$a_{1,2}=\frac{-18\pm\sqrt{320}}{2}$$ $$b_{1,2}=-4a=-2(-18\pm\sqrt{320})$$

Теперь то же самое, но с плюсом: $$b=4a$$ $$\cdots$$ $$a^2-14a+1=0$$ $$D=14^2-4*1=192$$ $$a_{3,4}=\frac{14\pm\sqrt{192}}{2}$$ $$b_{3,4}=4a=2(14\pm\sqrt{192})$$

ссылка

отвечен 12 Янв '12 1:46

изменен 12 Янв '12 2:43

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,146

задан
11 Янв '12 19:19

показан
3805 раз

обновлен
12 Янв '12 17:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru