Пусть $%R$% - ассоциативная алгебра над полем характеристики $%p > 0$% . Доказать, что (ad_a)^p = ad _(a^p) для всех $% a\in R $%, где $% ad_b : r \mapsto br - rb, b, r \in R $%.

задан 15 Фев '16 15:06

изменен 15 Фев '16 17:02

10|600 символов нужно символов осталось
1

Легко видеть, что $%ad_a^2(x)=ad_a(ad_a(x))=ad_a(ax-xa)=a(ax-xa)-(ax-xa)a=a^2x-2axa+xa^2$%. Для куба отображения получится $%ad_a^3(x)=ad_a(ad_a^2(x))=a(a^2x-2axa+xa^2)-(a^2x-2axa+xa^2)a$%, то есть $%a^3x-3a^2xa+3axa^2-xa^3$%.

Далее по индукции доказываем, что $%ad_a^n=a^nx-C_n^1a^{n-1}xa+C_n^2a^{n-2}xa^2-\cdots+(-1)^nxa^n$%. Для частного случая $%n=p$%, за счёт обнуления биномиальных коэффициентов вида $%C_p^k$% по модулю $%p$% при $%1\le k < p$%, получится $%ad_a^p(x)=a^px-xa^p$%. Заметим, что $%(-1)^p=-1$% по простому модулю $%p$%: для нечётного случая это очевидно, а по модулю $%2$% это тоже верно за счёт $%1\equiv-1\pmod2$%. В итоге $%ad_a^p=ad_{a^p}$%.

См. также близкую по характеру задачу отсюда.

ссылка

отвечен 15 Фев '16 17:48

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,242
×236

задан
15 Фев '16 15:06

показан
332 раза

обновлен
15 Фев '16 17:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru