Существует ли многочлен $%p\in \mathbb{R}[x]$%, который во всех натуральных точках принимает простые значения?

задан 12 Окт '12 20:18

изменен 12 Окт '12 20:18

10|600 символов нужно символов осталось
0

Нет, не существует. Пусть P(1) = p - простое число, обозначим Q(x) = P(x + 1), имеем Q(0) = p. Тогда числа $%Q(p) = P(p-1), Q(2p) = P(2p-1), ..., Q(kp) = P(kp-1), ...$% делятся на p. Ясно, что не все они равны p, так что некоторые из них не простые.

Дополнение. Коэффициенты многочлена могут быть нецелыми числами. Но они рациональны. Действительно, пусть искомый многочлен имеет вид $%P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_0$%. Если x - натуральное число, то и P(x) - натуральное (даже простое), так что коэффициенты являются решениями системы уравнений с коэффициентами при неизвестных $%a_k$% вида $%(m^n, m^{n-1}, ... 1)$% при m от 1 до n+1. Как известно, определитель такой системы не равен 0, так что она имеет (единственное) рациональное решение.
Пусть $%a_k={p_k\over q_k}$% и $%N= НОК(q_1, q_2, ... q_{n+1})$%. Рассмотрим значения многочлена P(x) в точках $%m = N l$%. Если рассматривать его как многочлен $%Q(l) = P(Nl)$%, то коэффициенты многочлена Q будут уже целыми. Так что к Q можно применить приведенное выше рассуждение.

ссылка

отвечен 13 Окт '12 0:01

изменен 15 Окт '12 0:31

Эти числа не обязательно делятся на $%p$%, так как коэффициенты многочлена не обязательно целые.

(13 Окт '12 16:51) dmg3

Да, действительно, это не указано. По-крайней мере, они рациональные (так как являются решением системы уравнений с целыми коэффициентами $%x^n, x^{n-1}, ... 1$%. Дальше подумаю.
Смутно вспоминаю, что была такая задача: если все значения многочлена в целочисленных точках целый, то его коэффициенты - целые или полуцелые числа.

(14 Окт '12 23:53) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

Невозможно, так как была бы формула простого числа. Или я ошибаюсь?

ссылка

отвечен 12 Окт '12 20:50

Формула для простого числа-это функция $%p(n)$%, обозначающая $%n$%-ое простое число. А у такого многочлена не обязательно все простые числа в множестве значений.

(12 Окт '12 20:55) dmg3
10|600 символов нужно символов осталось
0

Есть полиномы, среди значений которых много простых, например, все значения полинома $%n^2-n+41$%, при $%n \le 40$% простые. Но такого полинома, у которого все значения простые, не существует.

ссылка

отвечен 13 Окт '12 0:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×960
×591
×297
×57

задан
12 Окт '12 20:18

показан
1989 раз

обновлен
15 Окт '12 0:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru