алгебра - Арифметическая прогрессия

Пусть $%a_1=a$% -- первый член прогрессии, и $%n$% -- количество её членов. Тогда $%a^2+(a+8)+(a+16)+\cdots+(a+8(n-1))\le200$%. Упрощая, имеем $%a^2+a(n-1)+8\frac{n(n-1)}2\le200$%, и после выделения полного квадрата получится $%(a+\frac{n-1}2)^2+4n(n-1)-\frac{(n-1)^2}4\le200$%.

Учитывая, что первое слагаемое неотрицательно, после домножения на 4 имеем неравенство $%16n^2-16n-n^2+2n-1-800\le0$%, то есть $%15n^2-14n-801\le0$%. Деля на 15 и выделяя полный квадрат, получаем $%(n-\frac7{15})^2\le\frac{801}{15}+\frac{49}{15^2}$%, откуда следует, что $%n\le\frac{7+\sqrt{12064}}{15} < \frac{7+110}{15} < 8$%.

Таким образом, $%n\le7$%, а пример прогрессии из 7 чисел легко строится (можно положить $%a=0$%).