Какое наибольшее количество членов может содержать в себе арифметическая прогрессия, если d = 8, и квадрат первого члена в сумме с остальными членами данной прогрессии не превосходит 200?

задан 16 Фев '16 20:05

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $%a_1=a$% -- первый член прогрессии, и $%n$% -- количество её членов. Тогда $%a^2+(a+8)+(a+16)+\cdots+(a+8(n-1))\le200$%. Упрощая, имеем $%a^2+a(n-1)+8\frac{n(n-1)}2\le200$%, и после выделения полного квадрата получится $%(a+\frac{n-1}2)^2+4n(n-1)-\frac{(n-1)^2}4\le200$%.

Учитывая, что первое слагаемое неотрицательно, после домножения на 4 имеем неравенство $%16n^2-16n-n^2+2n-1-800\le0$%, то есть $%15n^2-14n-801\le0$%. Деля на 15 и выделяя полный квадрат, получаем $%(n-\frac7{15})^2\le\frac{801}{15}+\frac{49}{15^2}$%, откуда следует, что $%n\le\frac{7+\sqrt{12064}}{15} < \frac{7+110}{15} < 8$%.

Таким образом, $%n\le7$%, а пример прогрессии из 7 чисел легко строится (можно положить $%a=0$%).

ссылка

отвечен 16 Фев '16 20:29

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,234
×3,395
×99
×89
×41

задан
16 Фев '16 20:05

показан
769 раз

обновлен
16 Фев '16 20:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru