комплексные-числа - Как решать уравнение $%z^4−8z^2+64=0$% на множестве комплексных чисел?

$%z^4 -8z^2+64=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}z^2=t,\\t^2-8t+64=0,[D=64\cdot(-3),\sqrt{D}=8\sqrt{3}i]\\\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}z^2=t,\\\left[ \begin{aligned} t=4-4\sqrt{3}i,\\ t=4+4\sqrt{3}i,\\ \end{aligned} \right. \\\end{aligned}\right.\Leftrightarrow $%

$%\Leftrightarrow\left[ \begin{aligned} z^2=4-4\sqrt{3}i,\\ z^2=4+4\sqrt{3}i.\\ \end{aligned} \right.$% Корни уравнения $%z^2=4-4\sqrt{3}i$% будем искать в виде $%a+bi$% ($%a,b\in R$%), тогда:

$%(a+bi)^2=4-4\sqrt{3}i\Leftrightarrow a^2-b^2+2abi=4-4\sqrt{3}i.$%

Решим систему уравнений $%\left\{ \begin{aligned} a^2-b^2=4,\\ 2ab=-4\sqrt{3},\\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{aligned} (a^2-b^2)\sqrt{3}=4\sqrt{3},\\ 2ab=-4\sqrt{3},\\ \end{aligned} \right. $% Сложив уравнения системы, получим уравнение, которое сводится к квадратному (делением левой и правой части уравнения на $%b^2$%).

Получим пары $%(a=\sqrt{6};b=-\sqrt{2});(a=-\sqrt{6};b=\sqrt{2})$%. Имеем два решения $%z_1=\sqrt{6}-\sqrt{2}i, z_2=-\sqrt{6}+\sqrt{2}i.$% Два остальных решения будут сопряженными для первых двух $%z_3=\sqrt{6}+\sqrt{2}i, z_4=-\sqrt{6}-\sqrt{2}i.$%