Пусть имеется прямоугольный треугольник. Разместим ПДСК (спасибо @Аноним за аббревиатуру) в вершине прямого угла. Из начала координат направим луч под углом $%\alpha$% к вертикали внутрь треугольника, а из вершины острого угла треугольника, расположенного на оси абсцисс, под тем же углом $%\alpha$% к гипотенузе внутрь треугольника направим ещё один луч. Оба луча пересекутся в точке. Если угол $%\alpha$% сделать переменной величиной, откладывая попарно равные углы от вертикали и гипотенузы внутрь треугольника, получим кривую, начальная и конечная точки которой есть начальная и конечная точки вертикального катета. Найти уравнение этой кривой.

задан 13 Окт '12 14:31

10|600 символов нужно символов осталось
0

alt text Пусть $%CB=a$%, координаты $%E$% - $%(x;y),\angle ABC=\beta$%. По теореме синусов $%\Delta BEC:\frac{a}{\sin(\pi-(\frac{\pi}{2}-\alpha+\beta-\alpha))}=\frac{\frac{y}{\cos\alpha}}{\sin(\beta-\alpha)}<=>y=\frac{a\cos\alpha\sin(\beta-\alpha)}{\cos(2\alpha-\beta)}=\frac{a(\sin\beta+\sin(\beta-2\alpha))}{2\cos(\beta-2\alpha)}<=>$%
$%2y\cos(\beta-2\alpha)=a\sin\beta+a\sin(\beta-2\alpha)<=>\sin(\beta-2\alpha-\arcsin\frac{2y}{\sqrt{4y^2+a^2}})=$%$%=a\sin\beta\sqrt{4y^2+a^2}<=>\alpha=\frac{1}{2}(\beta-\arcsin\frac{2y}{\sqrt{4y^2+a^2-\arcsin(a\sin\beta\sqrt{4y^2+a^2})}})$%, дальнейшее решение принципиальной сложности не представляет.

ссылка

отвечен 13 Окт '12 22:19

Решение правильное, рисунок замечательный. Можно ли было упростить вид решения? Пожалуй, если написать уравнения лучей методами аналитической геометрии. Но автор не задал длину хотя бы одного катета, поэтому решение такое, какое есть. Спасибо. Вы точен и аккуратен.

(14 Окт '12 9:30) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×601

задан
13 Окт '12 14:31

показан
541 раз

обновлен
14 Окт '12 9:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru