$$\begin{cases}\dot{x}=x+y,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x(0)=1+\mu\\ \dot{y}=2x+\mu y^2, \ \ \ \ \ y(0)=-2\end{cases}$$ Найти $%\frac{\partial{y}}{\partial{\mu}}\mid _{\mu=0}$%

задан 18 Фев '16 1:18

10|600 символов нужно символов осталось
2

Решение исходной системы это $%x = x(t;\mu),\;y = y(t;\mu)$%...

1) Обозначим $%X(t)=x(t;0),\;Y(t) = y(t;0)$%... Тогда эти функции удовлетворяют линейной системе с постоянными коэффициентами, получаемой их исходной подстановкой значения параметра $%\mu=0$%... $$ \begin{cases} X'=X+Y \\ Y'=2X \\ X(0)=1 \\ Y(0)=-2 \end{cases}. $$

2) Дифференцируем уравнения и начальные данные по параметру: $$ \begin{cases} x_{\mu}'=x_{\mu}+y_{\mu} \\ y_{\mu}'=2x_{\mu}+2\mu yy_{\mu}+y^2 \\ x_{\mu}(0)=1 \\ y_{\mu}(0)=0 \end{cases}. $$ Обозначим $%U(t)=x_{\mu}(t;0),\;V(t) = y_{\mu}(t;0)$%... Подставляем $%\mu=0$% и получаем неоднородную линейную систему для введённых функций... $$ \begin{cases} U'=U+V \\ V'=2U+Y^2 \\ U(0)=1 \\ V(0)=0 \end{cases}, $$ откуда и находим требуемое...

ссылка

отвечен 18 Фев '16 13:44

изменен 18 Фев '16 16:01

@all_exist: во второй формуле последней системы у второго слагаемого будет ещё множитель y.

(18 Фев '16 13:46) falcao

@falcao, да, пропустил... но на решение он всё равно не скажется... )))

(18 Фев '16 13:49) all_exist

@all_exist: я над этой задачей думал, но не пришёл ни к каким выводам. То есть дифференцировал по параметру, получал систему, смотрел, что там получается. Не смог понять, за счёт чего она будет проще исходной, и можно ли её решить в явном виде.

(18 Фев '16 14:12) falcao

@falcao, она упрощается за счёт подстановки $%\mu=0$%... первая система - линейная однородная, а вторая - линейная неоднородная, где $%y^2$% - есть решение первой системы...

(18 Фев '16 14:59) all_exist

@all_exist: а в явном виде оно всё-таки решается? Я пока так и не могу осознать, какой там будет ответ. Находил несколько первых членов разложения в ряд, но не было понятно, что при этом будет.

(18 Фев '16 15:11) falcao

@falcao, ну, линейная система с постоянными коэффициентами имеет типовой ход решения... а правая часть второй системы - это сумма экспонент, поэтому там тоже те должно быть затруднений...

(18 Фев '16 15:15) all_exist

@all_exist: я чуть позже посмотрю чуть подробнее. Мне пока не всё ясно на уровне используемого "формализма", но это, возможно, потому, что я не вдумался как следует.

В первой системе у Вас везде X?

(18 Фев '16 15:48) falcao

опять невнимательность... исправил...

(18 Фев '16 16:02) all_exist
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,118
×534
×346
×319

задан
18 Фев '16 1:18

показан
2288 раз

обновлен
18 Фев '16 16:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru